Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8}{x - 7}$ , $y (8) = - 9$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = - \frac{8}{x - 7} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int - \frac{8}{x - 7} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int - \frac{8}{x - 7} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{8}{x - 7} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x - 7} d x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x - 7} d x$

Passaggio 2.3.4

Sia $u = x - 7$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Sia $u = x - 7$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.4.1.1

Differenzia $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Passaggio 2.3.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Passaggio 2.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Passaggio 2.3.4.1.4

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - 8 (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$y + C_{1} = - 8 \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 7$ .

$y + C_{1} = - 8 \ln (| x - 7 |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = - 8 \ln (| x - 7 |) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $8$ e $y$ con $- 9$ in $y = - 8 \ln (| x - 7 |) + C$ .

$- 9 = - 8 \ln (| 8 - 7 |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- 8 \ln (| 8 - 7 |) + C = - 9$ .

$- 8 \ln (| 8 - 7 |) + C = - 9$

Passaggio 4.2

Semplifica $- 8 \ln (| 8 - 7 |) + C$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Sottrai $7$ da $8$ .

$- 8 \ln (| 1 |) + C = - 9$

Passaggio 4.2.1.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$- 8 \ln (1) + C = - 9$

Passaggio 4.2.1.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- 8 \cdot 0 + C = - 9$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$0 + C = - 9$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $C$ .

$C = - 9$

Passaggio 5

Sostituisci $- 9$ a $C$ in $y = - 8 \ln (| x - 7 |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 9$ a $C$ .

$y = - 8 \ln (| x - 7 |) - 9$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica $- 8 \ln (| x - 7 |)$ spostando $8$ all'interno del logaritmo.

$y = - \ln ({| x - 7 |}^{8}) - 9$

Passaggio 5.2.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x - 7 |}^{8}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = - \ln ({(x - 7)}^{8}) - 9$