Calcolo Esempi

$(x - 4) y^{4} d x - x^{3} (y^{2} - 3) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(x - 4) y^{4} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{3} (y^{2} - 3) d y = - (x - 4) y^{4} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x^{3} y^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{3} y^{4}} (- x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{1}{x^{3} y^{4}} (x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{3} y^{4}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{x^{3} y^{4}} (x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} y^{4}$ .

$\frac{- 1}{x^{3} (y^{4})} (x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{x^{3} y^{4}} (x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{y^{4}} (y^{2} - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{y^{4}} (y^{2} - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$(- \frac{1}{y^{4}} y^{2} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y^{4}}$ nel numeratore.

$(\frac{- 1}{y^{4}} y^{2} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $y^{2}$ da $y^{4}$ .

$(\frac{- 1}{y^{2} y^{2}} y^{2} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.5.3

Elimina il fattore comune.

$(\frac{- 1}{y^{2} y^{2}} y^{2} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi l'espressione.

$(\frac{- 1}{y^{2}} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.6

Moltiplica $- \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$(\frac{- 1}{y^{2}} + 3 \frac{1}{y^{4}}) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.6.2

$3$ e $\frac{1}{y^{4}}$ .

$(\frac{- 1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.8

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = - \frac{1}{x^{3} y^{4}} ((x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.9

Elimina il fattore comune di $y^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{3} y^{4}}$ nel numeratore.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{x^{3} y^{4}} ((x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.9.2

Scomponi $y^{4}$ da $x^{3} y^{4}$ .

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{y^{4} x^{3}} ((x - 4) y^{4}) d x$

Passaggio 3.9.3

Scomponi $y^{4}$ da $(x - 4) y^{4}$ .

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{y^{4} x^{3}} (y^{4} (x - 4)) d x$

Passaggio 3.9.4

Elimina il fattore comune.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{y^{4} x^{3}} (y^{4} (x - 4)) d x$

Passaggio 3.9.5

Riscrivi l'espressione.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{x^{3}} (x - 4) d x$

Passaggio 3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = - \frac{1}{x^{3}} (x - 4) d x$

Passaggio 3.11

Applica la proprietà distributiva.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (- \frac{1}{x^{3}} x - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

Passaggio 3.12

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{3}}$ nel numeratore.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x^{3}} x - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

Passaggio 3.12.2

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{2}} x - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

Passaggio 3.12.3

Elimina il fattore comune.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{2}} x - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

Passaggio 3.12.4

Riscrivi l'espressione.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

Passaggio 3.13

Moltiplica $- \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x^{2}} + 4 \frac{1}{x^{3}}) d x$

Passaggio 3.13.2

$4$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}) d x$

Passaggio 3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}) d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int - \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int {(y^{2})}^{- 1} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int y^{2 \cdot - 1} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \int y^{- 2} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 \int \frac{1}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.6

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Sposta $y^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 \int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 \int y^{4 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.6.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 \int y^{- 4} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 4}$ rispetto a $y$ è $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.1.1

$y^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.8.1.2

Sposta $y^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.8.2

Semplifica.

$- - \frac{1}{y} + 3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{y} + 3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.8.3.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $1$ .

$\frac{1}{y} + 3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.8.3.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{y} - 3 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.8.3.4

$- 3$ e $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$\frac{1}{y} + \frac{- 3}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.8.3.5

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.3.5.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{1}{y} + \frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.8.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.3.5.2.1

Scomponi $3$ da $3 y^{3}$ .

$\frac{1}{y} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (y^{3})} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.8.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} + \frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.8.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} + \frac{- 1}{y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.2.8.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.3.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.3.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - \int x^{- 2} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 4.3.6

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3.6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.6.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 \int x^{- 3} d x$

Passaggio 4.3.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{5})$

Passaggio 4.3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{5})$

Passaggio 4.3.8.1.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{5})$

Passaggio 4.3.8.2

Semplifica.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - - \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C_{6}$

Passaggio 4.3.8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = 1 \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C_{6}$

Passaggio 4.3.8.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C_{6}$

Passaggio 4.3.8.3.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} - 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{6}$

Passaggio 4.3.8.3.4

$- 4$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{- 4}{2 x^{2}} + C_{6}$

Passaggio 4.3.8.3.5

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.3.5.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C_{6}$

Passaggio 4.3.8.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} + C_{6}$

Passaggio 4.3.8.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C_{6}$

Passaggio 4.3.8.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{- 2}{x^{2}} + C_{6}$

Passaggio 4.3.8.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + C_{6}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + K$