Calcolo Esempi

$(2 x y + y - e^{- x}) d x + x d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 x y + y - e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y - e^{- x}]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y + y - e^{- x}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 1 + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

Passaggio 1.4.2

Poiché $- e^{- x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- e^{- x}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 1 + 0$

Passaggio 1.4.3

Somma $2 x + 1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 1$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x + 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x + 1 = 1$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 x + 1 = 1$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2 x + 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x + 1 - 1}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ a $N$ .

$\frac{2 x + 1 - 1}{x}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{2 x + 0}{x}$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 x}{x}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{x}$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int 2 d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(2 x y + y - e^{- x}) d x + x d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $2 x y + y - e^{- x}$ per $e^{2 x}$ .

$(2 x y + y - e^{- x}) e^{2 x} d x + x d y = 0$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{- x} e^{2 x}) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $e^{- x}$ per $e^{2 x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta $e^{2 x}$ .

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - (e^{2 x} e^{- x})) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{2 x - x}) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.3.3

Sottrai $x$ da $2 x$ .

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $x$ per $e^{2 x}$ .

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}) d x + x e^{2 x} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{2 x} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = x e^{2 x}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x e^{2 x} y + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{2 x} y + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{2 x} y + g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x e^{2 x} y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x e^{2 x} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x e^{2 x} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$y (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y (x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$y (x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11.3.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y (x (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11.3.8

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$y (x (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11.3.9

Moltiplica $e^{2 x}$ per $1$ .

$y (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + \frac{d g}{d x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y (x (2 e^{2 x})) + y e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + e^{2 x} y = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 11.5.3

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + e^{2 x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $2 x y e^{2 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + y e^{2 x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x} - 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $y e^{2 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x} - 2 x y e^{2 x} - y e^{2 x}$

Passaggio 12.1.3

Combina i termini opposti in $2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x} - 2 x y e^{2 x} - y e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Sottrai $2 x y e^{2 x}$ da $2 x y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + y e^{2 x} - e^{x} - y e^{2 x}$

Passaggio 12.1.3.2

Somma $0$ e $y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{2 x} - e^{x} - y e^{2 x}$

Passaggio 12.1.3.3

Sottrai $y e^{2 x}$ da $y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

Passaggio 12.1.3.4

Sottrai $e^{x}$ da $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- e^{x}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - e^{x} d x$

Passaggio 13.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - \int e^{x} d x$

Passaggio 13.4

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$g (x) = - (e^{x} + C)$

Passaggio 13.5

Semplifica.

$g (x) = - e^{x} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x e^{2 x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{2 x} y - e^{x} + C$

Passaggio 15

Riordina i fattori in $f (x, y) = x e^{2 x} y - e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{2 x} - e^{x} + C$