Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x + 1$ , $y (2) = 3$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (x + 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x + 1 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x + 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int x d x + \int d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $2$ e $y$ con $3$ in $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$ .

$3 = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K = 3$

Passaggio 4.2

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Scomponi $2$ da $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 + 2 + K = 3$

Passaggio 4.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$4 + K = 3$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 3 - 4$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $4$ da $3$ .

$K = - 1$

Passaggio 5

Sostituisci $- 1$ a $K$ in $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 1$ a $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + x - 1$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + x - 1$