Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + x}$ , $y (0) = 3$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{1}{2 + x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{1}{2 + x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 + x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = 2 + x$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 2 + x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 + x$ .

$y + C_{1} = \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $3$ in $y = \ln (| 2 + x |) + C$ .

$3 = \ln (| 2 + 0 |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\ln (| 2 + 0 |) + C = 3$ .

$\ln (| 2 + 0 |) + C = 3$

Passaggio 4.2

Semplifica $\ln (| 2 + 0 |) + C$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $2$ e $0$ .

$\ln (| 2 |) + C = 3$

Passaggio 4.2.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\ln (2) + C = 3$

Passaggio 4.3

Sottrai $\ln (2)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 3 - \ln (2)$

Passaggio 5

Sostituisci $3 - \ln (2)$ a $C$ in $y = \ln (| 2 + x |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $3 - \ln (2)$ a $C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + 3 - \ln (2)$

Passaggio 5.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| 2 + x |}{2}) + 3$