Calcolo Esempi

$2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $2 x y$ ciascun termine in $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $2 x y$ ciascun termine in $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1.2.1

Scomponi $x$ da $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{2 x y}$

Passaggio 1.1.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.2.2.1

Scomponi $y$ da $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Passaggio 1.1.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Passaggio 1.1.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y}{2 x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione differenziale come $f (\frac{y}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Metti in evidenza $\frac{x}{y}$ in $\frac{x}{2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $\frac{x}{y}$ da $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{2 x}$

Passaggio 1.2.1.2

Riordina $\frac{x}{y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{2 x}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{x}{y}$ come ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{2 x}$

Passaggio 1.3

Metti in evidenza $\frac{y}{x}$ in $\frac{y}{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $\frac{y}{x}$ da $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.3.2

Riordina $\frac{y}{x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V^{- 1} + \frac{1}{2} V$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V^{- 1} + \frac{1}{2} V$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V} + \frac{1}{2} V$

Passaggio 6.1.1.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + \frac{1}{2} V$

Passaggio 6.1.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2}$

Passaggio 6.1.1.2

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2

Per scrivere $- V$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.1

$- V$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Scomponi $V$ da $V - V \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Scomponi $V$ da $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Scomponi $V$ da $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Scomponi $V$ da $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.4.1

Per scrivere $- \frac{V}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.2

Moltiplica $\frac{V}{2}$ per $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.4.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.4.2

Riscrivi $V \cdot V$ come $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V^{2}}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.6

Moltiplica $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Passaggio 6.1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} (\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Moltiplica $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Passaggio 6.1.4.2

Elimina il fattore comune di $2 V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.2.1

Scomponi $2 V$ da $2 V x$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V (x)}$

Passaggio 6.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Passaggio 6.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Passaggio 6.1.4.3

Elimina il fattore comune di $(1 + V) (1 - V)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Passaggio 6.1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $V$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Sia $u = (1 + V) (1 - V)$ . Allora $d u = - 2 V d V$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Sia $u = (1 + V) (1 - V)$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Differenzia $(1 + V) (1 - V)$ .

$\frac{d}{d V} [(1 + V) (1 - V)]$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ è $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ dove $f (V) = 1 + V$ e $g (V) = 1 - V$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [1 - V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - V$ rispetto a $V$ è $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $1$ rispetto a $V$ è $0$ .

$(1 + V) (0 + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [- V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $- V$ rispetto a $V$ è $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$(1 + V) (- \frac{d}{d V} [V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 + V) (- 1 \cdot 1) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(1 + V) \cdot - 1 + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $1 + V$ .

$- 1 \cdot (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3.6.3

Riscrivi $- 1 (1 + V)$ come $- (1 + V)$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + V$ rispetto a $V$ è $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V])$

Passaggio 6.2.2.2.1.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $1$ rispetto a $V$ è $0$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (0 + \frac{d}{d V} [V])$

Passaggio 6.2.2.2.1.3.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [V]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \cdot 1$

Passaggio 6.2.2.2.1.3.11

Moltiplica $1 - V$ per $1$ .

$- (1 + V) + 1 - V$

Passaggio 6.2.2.2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 1 - V + 1 - V$

Passaggio 6.2.2.2.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 - V + 1 - V$

Passaggio 6.2.2.2.1.4.2.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$- V + 0 - V$

Passaggio 6.2.2.2.1.4.2.3

Somma $- V$ e $0$ .

$- V - V$

Passaggio 6.2.2.2.1.4.2.4

Sottrai $V$ da $- V$ .

$- 2 V$

Passaggio 6.2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.9

Semplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(1 + V) (1 - V)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (| (1 + | x |) (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Espandi $(1 + | x |) (1 - | x |)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \ln (| 1 (1 - | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 6.3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 6.3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- \ln (| 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Moltiplica $- | x |$ per $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 6.3.2.2.1.3

Moltiplica $| x |$ per $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 6.3.2.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - | x | | x | |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 6.3.2.2.1.5

Moltiplica $| x |$ per $| x |$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.5.1

Sposta $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - (| x | | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 6.3.2.2.1.5.2

Moltiplica $| x |$ per $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 6.3.2.2.2

Somma $- | x |$ e $| x |$ .

$- \ln (| 1 + 0 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 6.3.2.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$- \ln (| 1 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 6.3.3

Somma $\ln (| x |)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$

Passaggio 6.3.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ .

$\frac{- \ln (| 1 - V^{2} |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 6.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| 1 - V^{2} |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 6.3.4.2.2

Dividi $\ln (| 1 - V^{2} |)$ per $1$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 6.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 6.3.4.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 6.3.4.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Passaggio 6.3.4.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (| x |)$ come $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - \ln (| x |)$

Passaggio 6.3.5

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 - V^{2} |) + \ln (| x |) = - C$

Passaggio 6.3.6

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} | | x |) = - C$

Passaggio 6.3.7

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (1 - V^{2}) x |) = - C$

Passaggio 6.3.8

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 x - V^{2} x |) = - C$

Passaggio 6.3.9

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (| x - V^{2} x |) = - C$

Passaggio 6.3.10

Per risolvere per $V$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| x - V^{2} x |)} = e^{- C}$

Passaggio 6.3.11

Riscrivi $\ln (| x - V^{2} x |) = - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | x - V^{2} x |$

Passaggio 6.3.12

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.12.1

Riscrivi l'equazione come $| x - V^{2} x | = e^{- C}$ .

$| x - V^{2} x | = e^{- C}$

Passaggio 6.3.12.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x - V^{2} x = \pm e^{- C}$

Passaggio 6.3.12.3

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$

Passaggio 6.3.12.4

Dividi per $- x$ ciascun termine in $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.12.4.1

Dividi per $- x$ ciascun termine in $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ .

$\frac{- V^{2} x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Passaggio 6.3.12.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.12.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Passaggio 6.3.12.4.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.12.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Passaggio 6.3.12.4.2.2.2

Dividi $V^{2}$ per $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Passaggio 6.3.12.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.12.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.12.4.3.1.1

Semplifica $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

Passaggio 6.3.12.4.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Passaggio 6.3.12.4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.12.4.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Passaggio 6.3.12.4.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

Passaggio 6.3.12.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$

Passaggio 6.3.12.6

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.12.6.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}}$

Passaggio 6.3.12.6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$

Passaggio 6.3.12.6.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$ come $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 6.3.12.6.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 6.3.12.6.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.12.6.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Passaggio 6.3.12.6.5.2

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Passaggio 6.3.12.6.5.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Passaggio 6.3.12.6.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Passaggio 6.3.12.6.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 6.3.12.6.5.6

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.12.6.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.3.12.6.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.3.12.6.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.12.6.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.12.6.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.12.6.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Passaggio 6.3.12.6.5.6.5

Semplifica.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 6.3.12.6.6

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$

Passaggio 6.3.12.6.7

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{- C} + x)}}{x}$

Passaggio 6.4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Passaggio 8.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$