Calcolo Esempi

$\frac{d z}{d t} - \frac{1}{2 t} z = 0$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = - \frac{1}{2 t}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{1}{2 t} d t}$

Passaggio 1.2

Integra $- \frac{1}{2 t}$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{2 t} d t}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t)}$

Passaggio 1.2.3

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| t |) + C)}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| t |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (t)}$

Passaggio 1.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (t^{- \frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$t^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d z}{d t} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.3

$\frac{1}{2 t}$ e $z$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t}$ .

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Passaggio 2.2.4.1

Moltiplica $\frac{z}{2 t}$ per $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $t$ per $t^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.4.2.1

Sposta $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t)} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.4.2.2

Moltiplica $t^{\frac{1}{2}}$ per $t$ .

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Passaggio 2.2.4.2.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.4.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.4.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.4.2.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ per $0$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] = 0$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] d t = \int 0 d t$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = \int 0 d t$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

L'integrale di $0$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = 0 + C$

Passaggio 6.2

Somma $0$ e $C$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = C$

Passaggio 7

Risolvi per $z$ .

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ e $z$ .

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} = C$

Passaggio 7.2

Moltiplica ogni lato per $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.3.1

Elimina il fattore comune di $t^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$z = C t^{\frac{1}{2}}$