Calcolo Esempi

$2 x y y' = y^{2} - 2 x^{3}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 2 x^{3}$

Passaggio 2

Sia $v = y^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $y^{2}$ con $v$ .

$2 x y \frac{d y}{d x} = v - 2 x^{3}$

Passaggio 3

Trova $\frac{d v}{d x}$ differenziando $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $2 y$ da $2 x y$ .

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

Passaggio 4.3

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d v}{d x} = v - 2 x^{3}$

Passaggio 5

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $v$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$

Passaggio 5.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Passaggio 5.3.2

Dividi $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $x$ da $- 2 x^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x}$

Passaggio 5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}}$

Passaggio 5.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Passaggio 5.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Passaggio 5.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{1}$

Passaggio 5.4.2.5

Dividi $- 2 x^{2}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = - 2 x^{2}$

Passaggio 5.5

Scomponi $v$ da $\frac{- v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{- 1}{x} = - 2 x^{2}$

Passaggio 5.6

Riordina $v$ e $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{x} v = - 2 x^{2}$

Passaggio 6

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

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Passaggio 6.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Passaggio 6.2

Integra $\frac{- 1}{x}$ .

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Passaggio 6.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Passaggio 6.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (x)}$

Passaggio 6.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Passaggio 6.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 1}$

Passaggio 6.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 7

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x}$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 7.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.1

$\frac{1}{x}$ e $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 7.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 7.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 7.2.4

$\frac{1}{x}$ e $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

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Passaggio 7.2.5.1

Moltiplica $\frac{v}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 7.2.5.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 7.2.5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 7.2.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 7.2.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 7.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 \frac{1}{x} x^{2}$

Passaggio 7.4

$- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} x^{2}$

Passaggio 7.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

Passaggio 7.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

Passaggio 7.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 x$

Passaggio 8

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - 2 x$

Passaggio 9

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - 2 x d x$

Passaggio 10

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x} v = \int - 2 x d x$

Passaggio 11

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x} v = - 2 \int x d x$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 11.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Riscrivi $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Passaggio 11.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 11.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 11.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Passaggio 11.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Passaggio 11.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Passaggio 11.3.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{x} v = - x^{2} + C$

Passaggio 12

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$\frac{1}{x}$ e $v$ .

$\frac{v}{x} = - x^{2} + C$

Passaggio 12.2

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

Passaggio 12.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

Passaggio 12.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$v = (- x^{2} + C) x$

Passaggio 12.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1

Semplifica $(- x^{2} + C) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$v = - x^{2} x + C x$

Passaggio 12.3.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$v = - (x \cdot x^{2}) + C x$

Passaggio 12.3.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$v = - (x^{1} x^{2}) + C x$

Passaggio 12.3.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$v = - x^{1 + 2} + C x$

Passaggio 12.3.2.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$v = - x^{3} + C x$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $y^{2}$ .

$y^{2} = - x^{3} + C x$

Passaggio 14

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 14.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- x^{3} + C x}$

Passaggio 14.2

Scomponi $x$ da $- x^{3} + C x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Scomponi $x$ da $- x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + C x}$

Passaggio 14.2.2

Scomponi $x$ da $C x$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + x C}$

Passaggio 14.2.3

Scomponi $x$ da $x (- x^{2}) + x C$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Passaggio 14.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Passaggio 14.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Passaggio 14.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$