Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} \sin (x) + y \cos (x) = 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Riordina i termini.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = 1$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $y \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y (\cos (x)) = 1$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $\cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = 1$

Passaggio 2

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $\sin (x) y$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\sin (x) y' + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\sin (x) y' + y \cos (x)$

Passaggio 2.4

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x)$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 1$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$\sin (x) y = \int d x$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$\sin (x) y = x + C$

Passaggio 7

Dividi per $\sin (x)$ ciascun termine in $\sin (x) y = x + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $\sin (x)$ ciascun termine in $\sin (x) y = x + C$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.1

Frazioni separate.

$y = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 7.3.1.2

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$y = \frac{x}{1} \csc (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 7.3.1.3

Dividi $x$ per $1$ .

$y = x \csc (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 7.3.1.4

Frazioni separate.

$y = x \csc (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 7.3.1.5

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$y = x \csc (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

Passaggio 7.3.1.6

Dividi $C$ per $1$ .

$y = x \csc (x) + C \csc (x)$