Calcolo Esempi

$(6 x + y^{2}) d x + y (2 x - 3) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 6 x + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + y^{2}]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3

Poiché $6 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Passaggio 1.5

Somma $0$ e $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y (2 x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (2 x - 3)]$

Passaggio 2.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y (2 x - 3)$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + 0)$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 2$

Passaggio 2.8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 y = 2 y$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 y = 2 y$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x - 3) d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = y (2 x - 3)$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $2 x - 3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2 x - 3$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = (2 x - 3) \int y d y$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 5.3

Riscrivi $(2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

$y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.3.2

Poiché $\frac{y^{2}}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.3.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.3.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.3.8

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.3.9

$\frac{y^{2}}{2}$ e $2$ .

$\frac{y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.3.10

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$\frac{2 \cdot y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.3.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.11.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.3.11.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} = 6 x + y^{2}$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2} - y^{2}$

Passaggio 9.1.2

Combina i termini opposti in $6 x + y^{2} - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $y^{2}$ da $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $6 x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $6 x$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

Passaggio 10.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 6 \int x d x$

Passaggio 10.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 10.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Riscrivi $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Passaggio 10.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

$6$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

Passaggio 10.5.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12

Semplifica $f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f (x, y) = (2 (x) \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = (x - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.3

$- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = (x + \frac{- 3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (x, y) = (x - \frac{3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.6

$y^{2}$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{y^{2} \cdot 3}{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.7

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.8

Riordina i fattori di $x y^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} x - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.9

Combina $y^{2} x$ e $- \frac{3 y^{2}}{2}$ usando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.9.1

Riordina $y^{2}$ e $x$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.9.2

Per scrivere $x y^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.9.3

$x y^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.9.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.10.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.10.1.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.10.1.2

Scomponi $y^{2}$ da $- 3 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3}{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.10.1.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2 - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.1.10.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

Passaggio 12.2

Per scrivere $3 x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + C$

Passaggio 12.3

$3 x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + \frac{3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 12.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3) + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 12.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x) + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 12.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 12.5.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 \cdot y^{2} + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 12.5.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 y^{2} + 6 x^{2}}{2} + C$