Calcolo Esempi

$\frac{d p}{d t} = t^{2} p - p + t^{2} - 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Scomponi.

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Passaggio 1.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{d p}{d t} = (t^{2} p - p) + t^{2} - 1$

Passaggio 1.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{d p}{d t} = p (t^{2} - 1) + 1 (t^{2} - 1)$

Passaggio 1.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $t^{2} - 1$ .

$\frac{d p}{d t} = (t^{2} - 1) (p + 1)$

Passaggio 1.1.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d p}{d t} = (t^{2} - 1^{2}) (p + 1)$

Passaggio 1.1.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = t$ e $b = 1$ .

$\frac{d p}{d t} = (t + 1) (t - 1) (p + 1)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{p + 1}$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((t + 1) (t - 1) (p + 1))$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune di $p + 1$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $p + 1$ da $(t + 1) (t - 1) (p + 1)$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((p + 1) ((t + 1) (t - 1)))$

Passaggio 1.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((p + 1) ((t + 1) (t - 1)))$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = (t + 1) (t - 1)$

Passaggio 1.3.2

Espandi $(t + 1) (t - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t (t - 1) + 1 (t - 1)$

Passaggio 1.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1 + 1 (t - 1)$

Passaggio 1.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1 + 1 t + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} + t \cdot - 1 + 1 t + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $t$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} - 1 \cdot t + 1 t + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.3.1.3

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} - t + 1 t + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.3.1.4

Moltiplica $t$ per $1$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} - t + t + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} - t + t - 1$

Passaggio 1.3.3.2

Somma $- t$ e $t$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} + 0 - 1$

Passaggio 1.3.3.3

Somma $t^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} - 1$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{p + 1} d p = (t^{2} - 1) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{p + 1} d p = \int t^{2} - 1 d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = p + 1$ . Allora $d u = d p$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = p + 1$ . Trova $\frac{d u}{d p}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $p + 1$ .

$\frac{d}{d p} [p + 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $p + 1$ rispetto a $p$ è $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [1]$ .

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ è $n p^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d p} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $p$ , la derivata di $1$ rispetto a $p$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int t^{2} - 1 d t$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int t^{2} - 1 d t$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $p + 1$ .

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \int t^{2} - 1 d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \int t^{2} d t + \int - 1 d t$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} + \int - 1 d t$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} - t + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} - t + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| p + 1 |) = \frac{1}{3} t^{3} - t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $p$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $p$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| p + 1 |)} = e^{\frac{1}{3} t^{3} - t + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| p + 1 |) = \frac{1}{3} t^{3} - t + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} t^{3} - t + C} = | p + 1 |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $p$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| p + 1 | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - t + C}$ .

$| p + 1 | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - t + C}$

Passaggio 3.3.2

$\frac{1}{3}$ e $t^{3}$ .

$| p + 1 | = e^{\frac{t^{3}}{3} - t + C}$

Passaggio 3.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$p + 1 = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - t + C}$

Passaggio 3.3.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$p = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - t + C} - 1$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{\frac{t^{3}}{3} - t + C}$ come $e^{\frac{t^{3}}{3} - t} e^{C}$ .

$p = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - t} e^{C} - 1$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{\frac{t^{3}}{3} - t}$ e $e^{C}$ .

$p = \pm e^{C} e^{\frac{t^{3}}{3} - t} - 1$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$p = C e^{\frac{t^{3}}{3} - t} - 1$