Calcolo Esempi

$2 y d x = (x^{2} + 4) d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$(x^{2} + 4) d y = 2 y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(x^{2} + 4) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 4) y} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2} + 4$ da $(x^{2} + 4) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 4) (y)} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(x^{2} + 4) y} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} d y = 2 \frac{1}{(x^{2} + 4) y} y d x$

Passaggio 3.3

$2$ e $\frac{1}{(x^{2} + 4) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{(x^{2} + 4) y} y d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $y$ da $(x^{2} + 4) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (x^{2} + 4)} y d x$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (x^{2} + 4)} y d x$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 4.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 4.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Riordina $x^{2}$ e $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.3

L'integrale di $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Passaggio 4.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

$\frac{1}{2}$ e $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi $2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ come $2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Passaggio 4.3.4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.3.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Passaggio 4.3.4.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Passaggio 4.3.4.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Passaggio 4.3.4.3.3

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Passaggio 4.3.4.3.4

Moltiplica $\arctan (\frac{x}{2})$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Passaggio 4.3.4.4

Riordina i termini.

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\ln (| y |) = \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C} = | y |$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$ .

$| y | = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Passaggio 5.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi $e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$ come $e^{\arctan (\frac{1}{2} x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\arctan (\frac{1}{2} x)} e^{C}$

Passaggio 6.2

Riordina $e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$

Passaggio 6.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$