Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ , $y (0) = π$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - x^{2}}} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - x^{2}}}$ rispetto a $x$ è $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{x}{4}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\arcsin (\frac{x}{4}) + C_{2}$ come $\arcsin (\frac{1}{4} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{1}{4} x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $π$ in $y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$ .

$π = \arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K = π$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K = π$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica $\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $0$ .

$\arcsin (0) + K = π$

Passaggio 4.2.1.1.2

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$0 + K = π$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = π$

Passaggio 5

Sostituisci $π$ a $K$ in $y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $π$ a $K$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + π$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{4}$ e $x$ .

$y = \arcsin (\frac{x}{4}) + π$