Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 3$ , $y (1) = 4$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (2 x - 3) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 2 x - 3 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 2 x - 3 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 3 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 3 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 3 d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$y + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = x^{2} - 3 x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $4$ in $y = x^{2} - 3 x + K$ .

$4 = 1^{2} - 3 \cdot 1 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $1^{2} - 3 \cdot 1 + K = 4$ .

$1^{2} - 3 \cdot 1 + K = 4$

Passaggio 4.2

Semplifica $1^{2} - 3 \cdot 1 + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 3 \cdot 1 + K = 4$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$1 - 3 + K = 4$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 2 + K = 4$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = 4 + 2$

Passaggio 4.3.2

Somma $4$ e $2$ .

$K = 6$

Passaggio 5

Sostituisci $6$ a $K$ in $y = x^{2} - 3 x + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $6$ a $K$ .

$y = x^{2} - 3 x + 6$