Calcolo Esempi

$(y - 2) d x + (3 x - y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - 2]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Passaggio 1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Passaggio 1.5

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 3 x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x - y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$1 = 3$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$1 = 3$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $3$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 - 1}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $y - 2$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $y - 2$ a $M$ .

$\frac{3 - 1}{y - 2}$

Passaggio 4.3.2

Sostituisci $y - 2$ a $M$ .

$\frac{2}{y - 2}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y - 2} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{2}{y - 2} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y - 2} d y}$

Passaggio 5.2

Sia $u = y - 2$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sia $u = y - 2$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Differenzia $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Passaggio 5.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Passaggio 5.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Passaggio 5.2.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 5.4

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| u |)} + C$

Passaggio 5.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y - 2$ .

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y - 2 |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $2 \ln (| y - 2 |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y - 2 |}^{2})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y - 2 |}^{2} + C$

Passaggio 5.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| y - 2 |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = {(y - 2)}^{2} + C$

Passaggio 5.6.4

Riscrivi ${(y - 2)}^{2}$ come $(y - 2) (y - 2)$ .

$μ (x, y) = (y - 2) (y - 2) + C$

Passaggio 5.6.5

Espandi $(y - 2) (y - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$μ (x, y) = y (y - 2) - 2 (y - 2) + C$

Passaggio 5.6.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$μ (x, y) = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2) + C$

Passaggio 5.6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$μ (x, y) = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Passaggio 5.6.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.6.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$μ (x, y) = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Passaggio 5.6.6.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $y$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Passaggio 5.6.6.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 2 y - 2 y + 4 + C$

Passaggio 5.6.6.2

Sottrai $2 y$ da $- 2 y$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 4 y + 4 + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(y - 2) d x + (3 x - y) d y = 0$ per il fattore di integrazione $y^{2} - 4 y + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $y - 2$ per $y^{2} - 4 y + 4$ .

$(y - 2) (y^{2} - 4 y + 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Passaggio 6.2

Espandi $(y - 2) (y^{2} - 4 y + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$(y \cdot y^{2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Passaggio 6.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$(y^{1} y^{2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Passaggio 6.3.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(y^{1 + 2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Passaggio 6.3.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$(y^{3} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(y^{3} - 4 y \cdot y + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Sposta $y$ .

$(y^{3} - 4 (y \cdot y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Passaggio 6.3.4

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 \cdot y - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Passaggio 6.3.5

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 y^{2} + 8 y - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Passaggio 6.3.6

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 y^{2} + 8 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Passaggio 6.4

Sottrai $2 y^{2}$ da $- 4 y^{2}$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 4 y + 8 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Passaggio 6.5

Somma $4 y$ e $8 y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $3 x - y$ per $y^{2} - 4 y + 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x - y) (y^{2} - 4 y + 4) d y = 0$

Passaggio 6.7

Espandi $(3 x - y) (y^{2} - 4 y + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} + 3 x (- 4 y) + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Passaggio 6.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} + 3 \cdot - 4 x y + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Passaggio 6.8.2

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Passaggio 6.8.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Passaggio 6.8.4

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.1

Sposta $y^{2}$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - (y^{2} y) - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Passaggio 6.8.4.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.4.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - (y^{2} y^{1}) - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Passaggio 6.8.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{2 + 1} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Passaggio 6.8.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Passaggio 6.8.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 y \cdot y - y \cdot 4) d y = 0$

Passaggio 6.8.6

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.6.1

Sposta $y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 (y \cdot y) - y \cdot 4) d y = 0$

Passaggio 6.8.6.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 y^{2} - y \cdot 4) d y = 0$

Passaggio 6.8.7

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - y \cdot 4) d y = 0$

Passaggio 6.8.8

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8 d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]$ .

$x (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.3.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 6 y^{2}$ rispetto a $y$ è $- 6 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x (3 y^{2} - 6 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.3.6

Poiché $12$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $12 y$ rispetto a $y$ è $12 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.3.8

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $y$ è $0$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.3.9

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.3.10

Moltiplica $12$ per $1$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.3.11

Somma $3 y^{2} - 12 y + 12$ e $0$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12) + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (3 y^{2}) + x (- 12 y) + x \cdot 12 + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.1

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$3 \cdot x y^{2} + x (- 12 y) + x \cdot 12 + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.5.2.2

Sposta $12$ alla sinistra di $x$ .

$3 x y^{2} + x (- 12 y) + 12 x + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 11.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x - 12 x y + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 12.1.1

Sottrai $3 y^{2} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} - 12 x y + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x$

Passaggio 12.1.2

Somma $12 x y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y$

Passaggio 12.1.3

Sottrai $12 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$

Passaggio 12.1.4

Combina i termini opposti in $3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$ .

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Passaggio 12.1.4.1

Riordina i fattori nei termini di $3 x y^{2}$ e $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$

Passaggio 12.1.4.2

Sottrai $3 y^{2} x$ da $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0 + 12 x y - 12 x$

Passaggio 12.1.4.3

Somma $- 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 12 x y - 12 x$

Passaggio 12.1.4.4

Somma $- 12 x y$ e $12 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0 - 12 x$

Passaggio 12.1.4.5

Somma $12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 12 x$

Passaggio 12.1.4.6

Sottrai $12 x$ da $12 x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0$

Passaggio 12.1.4.7

Somma $- y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y d y$

Passaggio 13.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (y) = \int - y^{3} d y + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Passaggio 13.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - \int y^{3} d y + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Passaggio 13.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Passaggio 13.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 \int y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Passaggio 13.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y$

Passaggio 13.8

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 \int y d y$

Passaggio 13.9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 13.10

Semplifica.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Passaggio 13.11

Semplifica.

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Passaggio 13.11.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 \frac{y^{2}}{2} + C$

Passaggio 13.11.2

$- 4$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{- 4 y^{2}}{2} + C$

Passaggio 13.11.3

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

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Passaggio 13.11.3.1

Scomponi $2$ da $- 4 y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2} + C$

Passaggio 13.11.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.11.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 (1)} + C$

Passaggio 13.11.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Passaggio 13.11.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{- 2 y^{2}}{1} + C$

Passaggio 13.11.3.2.4

Dividi $- 2 y^{2}$ per $1$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 2 y^{2} + C$

Passaggio 13.12

Semplifica.

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Passaggio 13.12.1

Riordina i termini.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4}) + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Passaggio 13.12.2

Rimuovi le parentesi.

$g (y) = - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Passaggio 15

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Passaggio 15.2

$y^{4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Passaggio 15.3

$\frac{4}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 2 y^{2} + C$