Calcolo Esempi

$x^{2} d x = 3 y^{2} d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$3 y^{2} d y = x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 3 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ come $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.3.2.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.3

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$

Passaggio 3.2

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$ .

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Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K}$

Passaggio 3.2.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.2.3.1

$K$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.2.4

Sposta $3$ alla sinistra di $K$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

Passaggio 3.2.5

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$ come $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Passaggio 3.2.7.2

Eleva $\sqrt[3]{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Passaggio 3.2.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.2.7.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Passaggio 3.2.7.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ come $3$ .

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Passaggio 3.2.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{3}$ come $3^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.2.7.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.2.7.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.2.7.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.7.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.2.7.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Passaggio 3.2.7.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Passaggio 3.2.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.8.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ come $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Passaggio 3.2.8.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{9}}{3}$

Passaggio 3.2.9

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 3.2.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$

Passaggio 3.2.9.2

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + K)}}{3}$