Calcolo Esempi

$\frac{2 d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Metti in evidenza $\frac{d y}{d x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$2 \frac{d y}{d x} = y \frac{x + 1}{x}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y \frac{x + 1}{x})$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y \frac{x + 1}{x})$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{x + 1}{x}$

Passaggio 1.5

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{1}{y} \cdot 2 \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} \cdot 2 d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} \cdot 2 d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

$\frac{1}{y}$ e $2$ .

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$2 \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 \ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica $2 \ln (| y |) - \ln (| x |)$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| y |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

Passaggio 3.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (y^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

Passaggio 3.2.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{| x |})} = e^{x + C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{y^{2}}{| x |}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ogni lato per $| x |$ .

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

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Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Passaggio 3.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = e^{x + C} | x |$

Passaggio 3.5.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.4.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Passaggio 3.5.4.2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.4.2.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Passaggio 3.5.4.2.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Passaggio 3.5.4.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{x + C}$ come $e^{x} e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Passaggio 4.3

Riscrivi $e^{x + C}$ come $e^{x} e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

Passaggio 4.4

Riordina $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$