Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(x y)}^{2}}{8} + y^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica la regola del prodotto a $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{8} + y^{2}$

Passaggio 1.1.2

Per scrivere $y^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{8} + y^{2} \cdot \frac{8}{8}$

Passaggio 1.1.3

$y^{2}$ e $\frac{8}{8}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{8} + \frac{y^{2} \cdot 8}{8}$

Passaggio 1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 8}{8}$

Passaggio 1.1.5

Scomponi $y^{2}$ da $x^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Scomponi $y^{2}$ da $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot 8}{8}$

Passaggio 1.1.5.2

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} \cdot 8$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} x^{2} + y^{2} (8)}{8}$

Passaggio 1.1.5.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} x^{2} + y^{2} (8)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (x^{2} + 8)}{8}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{8} (x^{2} + 8)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{8}{y^{2}}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{8} (x^{2} + 8))$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{8} x^{2} + \frac{y^{2}}{8} \cdot 8)$

Passaggio 1.4.2

$\frac{y^{2}}{8}$ e $x^{2}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2} x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{8} \cdot 8)$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2} x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{8} \cdot 8)$

Passaggio 1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2} x^{2}}{8} + y^{2})$

Passaggio 1.4.4

Moltiplica $\frac{8}{y^{2}}$ per $\frac{y^{2} x^{2}}{8} + y^{2}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 (\frac{y^{2} x^{2}}{8} + y^{2})}{y^{2}}$

Passaggio 1.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Scomponi $y^{2}$ da $\frac{y^{2} x^{2}}{8} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1.1

Scomponi $y^{2}$ da $\frac{y^{2} x^{2}}{8}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 (y^{2} \frac{x^{2}}{8} + y^{2})}{y^{2}}$

Passaggio 1.4.5.1.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 (y^{2} \frac{x^{2}}{8} + y^{2} \cdot 1)}{y^{2}}$

Passaggio 1.4.5.1.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} \frac{x^{2}}{8} + y^{2} \cdot 1$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 (y^{2} (\frac{x^{2}}{8} + 1))}{y^{2}}$

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2} (\frac{x^{2}}{8} + 1)}{y^{2}}$

Passaggio 1.4.5.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2} (\frac{x^{2}}{8} + \frac{8}{8})}{y^{2}}$

Passaggio 1.4.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2} \frac{x^{2} + 8}{8}}{y^{2}}$

Passaggio 1.4.5.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.4.1

$8$ e $\frac{x^{2} + 8}{8}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \frac{8 (x^{2} + 8)}{8}}{y^{2}}$

Passaggio 1.4.5.4.2

$y^{2}$ e $\frac{8 (x^{2} + 8)}{8}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2} (8 (x^{2} + 8))}{8}}{y^{2}}$

Passaggio 1.4.5.5

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2} \cdot 8 (x^{2} + 8)}{8}}{y^{2}}$

Passaggio 1.4.5.6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.6.1

Riduci l'espressione $\frac{y^{2} \cdot 8 (x^{2} + 8)}{8}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2} \cdot 8 (x^{2} + 8)}{8}}{y^{2}}$

Passaggio 1.4.5.6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2} (x^{2} + 8)}{1}}{y^{2}}$

Passaggio 1.4.5.6.2

Dividi $y^{2} (x^{2} + 8)$ per $1$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (x^{2} + 8)}{y^{2}}$

Passaggio 1.4.6

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (x^{2} + 8)}{y^{2}}$

Passaggio 1.4.6.2

Dividi $x^{2} + 8$ per $1$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 8$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{8}{y^{2}} d y = (x^{2} + 8) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{8}{y^{2}} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $y$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Passaggio 2.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$8 \int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Passaggio 2.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$8 \int y^{- 2} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$8 (- y^{- 1} + C_{1}) = \int x^{2} + 8 d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Riscrivi $8 (- y^{- 1} + C_{1})$ come $8 (- \frac{1}{y}) + C_{1}$ .

$8 (- \frac{1}{y}) + C_{1} = \int x^{2} + 8 d x$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 \frac{1}{y} + C_{1} = \int x^{2} + 8 d x$

Passaggio 2.2.4.2.2

$- 8$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 8}{y} + C_{1} = \int x^{2} + 8 d x$

Passaggio 2.2.4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \int x^{2} + 8 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 8 d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 8 d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 8 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 8 x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{8}{y} = \frac{1}{3} x^{3} + 8 x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- \frac{8}{y} = \frac{x^{3}}{3} + 8 x + K$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 3, 1, 1$

Passaggio 3.2.2

Poiché $y, 3, 1, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 3, 1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.5

Poiché $3$ non presenta fattori eccetto $1$ e $3$ .

$3$ è un numero primo

Passaggio 3.2.6

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.7

Il minimo comune multiplo di $1, 3, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3$

Passaggio 3.2.8

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.2.9

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y$

Passaggio 3.2.10

Il minimo comune multiplo di $y, 3, 1, 1$ è la parte numerica $3$ moltiplicata per la parte variabile.

$3 y$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $3 y$ ciascun termine in $- \frac{8}{y} = \frac{x^{3}}{3} + 8 x + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{8}{y} = \frac{x^{3}}{3} + 8 x + K$ per $3 y$ .

$- \frac{8}{y} (3 y) = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{8}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 8}{y} (3 y) = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Scomponi $y$ da $3 y$ .

$\frac{- 8}{y} (y \cdot 3) = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8}{y} (y \cdot 3) = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 8 \cdot 3 = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$- 24 = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 24 = 3 \frac{x^{3}}{3} y + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 24 = 3 \frac{x^{3}}{3} y + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 24 = x^{3} y + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 24 = x^{3} y + 8 \cdot 3 x y + K (3 y)$

Passaggio 3.3.3.1.4

Moltiplica $8$ per $3$ .

$- 24 = x^{3} y + 24 x y + K (3 y)$

Passaggio 3.3.3.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 24 = x^{3} y + 24 x y + 3 K y$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $x^{3} y + 24 x y + 3 K y = - 24$ .

$x^{3} y + 24 x y + 3 K y = - 24$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y$ da $x^{3} y + 24 x y + 3 K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $y$ da $x^{3} y$ .

$y x^{3} + 24 x y + 3 K y = - 24$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $y$ da $24 x y$ .

$y x^{3} + y (24 x) + 3 K y = - 24$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $y$ da $3 K y$ .

$y x^{3} + y (24 x) + y (3 K) = - 24$

Passaggio 3.4.2.4

Scomponi $y$ da $y x^{3} + y (24 x)$ .

$y (x^{3} + 24 x) + y (3 K) = - 24$

Passaggio 3.4.2.5

Scomponi $y$ da $y (x^{3} + 24 x) + y (3 K)$ .

$y (x^{3} + 24 x + 3 K) = - 24$

Passaggio 3.4.3

Dividi per $x^{3} + 24 x + 3 K$ ciascun termine in $y (x^{3} + 24 x + 3 K) = - 24$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Dividi per $x^{3} + 24 x + 3 K$ ciascun termine in $y (x^{3} + 24 x + 3 K) = - 24$ .

$\frac{y (x^{3} + 24 x + 3 K)}{x^{3} + 24 x + 3 K} = \frac{- 24}{x^{3} + 24 x + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{3} + 24 x + 3 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x^{3} + 24 x + 3 K)}{x^{3} + 24 x + 3 K} = \frac{- 24}{x^{3} + 24 x + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 24}{x^{3} + 24 x + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{24}{x^{3} + 24 x + 3 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{24}{x^{3} + 24 x + K}$