Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x e^{6 x - 5 y}$

Passaggio 1

Sia $v = e^{6 x - 5 y}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{6 x - 5 y}$ con $v$ .

$\frac{d y}{d x} = x v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d x}$ differenziando $e^{6 x - 5 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 6 x - 5 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 x - 5 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x - 5 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x - 5 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Passaggio 2.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Passaggio 2.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Passaggio 2.6

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 y$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 - 5 \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.7

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 - 5 y')$

Passaggio 3

Sostituisci $v$ a $e^{6 x - 5 y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (6 - 5 y')$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$

Passaggio 5

Moltiplica per $- (5 v)$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$ per $- (5 v)$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} (- (5 v)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $5 v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v}$ nel numeratore.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (- (5 v)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Passaggio 5.2.1.1.2

Scomponi $5 v$ da $- (5 v)$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (5 v (- 1)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Passaggio 5.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (5 v \cdot - 1) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Passaggio 5.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Passaggio 5.2.1.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.1

Scomponi $5$ da $- (5 v)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (5 (- (v))) = x v (- (5 v))$

Passaggio 5.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (5 (- (v))) = x v (- (5 v))$

Passaggio 5.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + 6 (- (v)) = x v (- (5 v))$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = x v (- (5 v))$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x v \cdot v$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $v$ per $v$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sposta $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x (v \cdot v)$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $v$ per $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x v^{2}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 5 x v^{2}$

Passaggio 6

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $v^{2}$ .

$v = v^{- 1}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per $v$ .

$y = v^{- 1}$

Passaggio 8

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Passaggio 9

Trova la derivata di $v^{- 1}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova la derivata di $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Passaggio 9.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Passaggio 9.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 9.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 9.4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 9.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.3.1

Moltiplica $v$ per $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 9.4.3.2

Sottrai $\frac{d}{d x} [v]$ da $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 9.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 9.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Passaggio 10

Sostituisci $- \frac{v'}{v^{2}}$ a $\frac{d v}{d x}$ e $v^{- 1}$ a $v$ nell'equazione originale $\frac{d v}{d x} - 6 v = - 5 x v^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$

Passaggio 11

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica per $- v^{2}$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$ per $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $v^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.1.2

Scomponi $v^{2}$ da $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.5

Moltiplica $v^{- 1}$ per $v^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1.5.1

Sposta $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.5.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.6

Semplifica $- 6 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.2.1.7

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{- 2} (- v^{2})$

Passaggio 11.1.3.2

Moltiplica $v^{- 2}$ per $v^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.2.1

Sposta $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Passaggio 11.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{2 - 2} \cdot - 1$

Passaggio 11.1.3.2.3

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{0} \cdot - 1$

Passaggio 11.1.3.3

Semplifica $- 5 x v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x \cdot - 1$

Passaggio 11.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = 5 x$

Passaggio 11.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 6 d x}$

Passaggio 11.2.2

Applica la regola costante.

$e^{6 x + C}$

Passaggio 11.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{6 x}$

Passaggio 11.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{6 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + e^{6 x} (6 v) = e^{6 x} (5 x)$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = e^{6 x} (5 x)$

Passaggio 11.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = 5 e^{6 x} x$

Passaggio 11.3.4

Riordina i fattori in $e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = 5 e^{6 x} x$ .

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 v e^{6 x} = 5 x e^{6 x}$

Passaggio 11.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{6 x} v] = 5 x e^{6 x}$

Passaggio 11.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{6 x} v] d x = \int 5 x e^{6 x} d x$

Passaggio 11.6

Integra il lato sinistro.

$e^{6 x} v = \int 5 x e^{6 x} d x$

Passaggio 11.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$e^{6 x} v = 5 \int x e^{6 x} d x$

Passaggio 11.7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{6 x}$ .

$e^{6 x} v = 5 (x (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Passaggio 11.7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.3.1

$\frac{1}{6}$ e $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} v = 5 (x \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Passaggio 11.7.3.2

$x$ e $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Passaggio 11.7.3.3

$\frac{1}{6}$ e $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} d x)$

Passaggio 11.7.4

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int e^{6 x} d x))$

Passaggio 11.7.5

Sia $u = 6 x$ . Allora $d u = 6 d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.5.1

Sia $u = 6 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.5.1.1

Differenzia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 11.7.5.1.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11.7.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Passaggio 11.7.5.1.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6$

Passaggio 11.7.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{6} d u)$

Passaggio 11.7.6

$e^{u}$ e $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{6} d u)$

Passaggio 11.7.7

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \int e^{u} d u))$

Passaggio 11.7.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.8.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u)$

Passaggio 11.7.8.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u)$

Passaggio 11.7.9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$

Passaggio 11.7.10

Riscrivi $5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$ come $5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Passaggio 11.7.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{6 x}) + C$

Passaggio 11.8

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.1.1

$e^{6 x}$ e $\frac{1}{36}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$

Passaggio 11.8.1.2

Rimuovi le parentesi.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$

Passaggio 11.8.2

Dividi per $e^{6 x}$ ciascun termine in $e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.2.1

Dividi per $e^{6 x}$ ciascun termine in $e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$ .

$\frac{e^{6 x} v}{e^{6 x}} = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{6 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{6 x} v}{e^{6 x}} = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.2.3.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.2.3.1.1.1

Scomponi $e^{6 x}$ da $\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{36}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.2.3.1.1.1.1

Scomponi $e^{6 x}$ da $\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x}$ .

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.1.1.1.2

Scomponi $e^{6 x}$ da $- \frac{e^{6 x}}{36}$ .

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) + e^{6 x} (- \frac{1}{36}))}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.1.1.1.3

Scomponi $e^{6 x}$ da $e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) + e^{6 x} (- \frac{1}{36})$ .

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x - \frac{1}{36}))}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.1.1.2

$\frac{1}{6}$ e $x$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x}{6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.1.1.3

Per scrivere $\frac{x}{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x}{6} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.1.1.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $36$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.2.3.1.1.4.1

Moltiplica $\frac{x}{6}$ per $\frac{6}{6}$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x \cdot 6}{6 \cdot 6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.1.1.4.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x \cdot 6}{36} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$v = \frac{5 e^{6 x} \frac{x \cdot 6 - 1}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.1.1.6

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} \frac{6 x - 1}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.1.1.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.2.3.1.1.7.1

$\frac{6 x - 1}{36}$ e $5$ .

$v = \frac{\frac{(6 x - 1) \cdot 5}{36} e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.1.1.7.2

$\frac{(6 x - 1) \cdot 5}{36}$ e $e^{6 x}$ .

$v = \frac{\frac{(6 x - 1) \cdot 5 e^{6 x}}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.1.1.8

Sposta $5$ alla sinistra di $6 x - 1$ .

$v = \frac{\frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.1.3

Combina.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} \cdot 1}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $e^{6 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.2.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} \cdot 1}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$v = \frac{5 (6 x - 1) \cdot 1}{36} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.1.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.2

Per scrivere $\frac{5 (6 x - 1)}{36}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{6 x}}{e^{6 x}}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} \cdot \frac{e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.3

Per scrivere $\frac{C}{e^{6 x}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{36}{36}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} \cdot \frac{e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}} \cdot \frac{36}{36}$

Passaggio 11.8.2.3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $36 e^{6 x}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.2.3.4.1

Moltiplica $\frac{5 (6 x - 1)}{36}$ per $\frac{e^{6 x}}{e^{6 x}}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}} \cdot \frac{36}{36}$

Passaggio 11.8.2.3.4.2

Moltiplica $\frac{C}{e^{6 x}}$ per $\frac{36}{36}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C \cdot 36}{e^{6 x} \cdot 36}$

Passaggio 11.8.2.3.4.3

Riordina i fattori di $e^{6 x} \cdot 36$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.2.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$v = \frac{(5 (6 x) + 5 \cdot - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.6.2

Moltiplica $6$ per $5$ .

$v = \frac{(30 x + 5 \cdot - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.6.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$v = \frac{(30 x - 5) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$v = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Passaggio 11.8.2.3.6.5

Sposta $36$ alla sinistra di $C$ .

$v = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

Passaggio 12

Sostituisci $v^{- 1}$ a $v$ .

$v^{- 1} = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $e^{6 x - 5 y}$ .

${(e^{6 x - 5 y})}^{- 1} = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

Passaggio 14

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln ({(e^{6 x - 5 y})}^{- 1}) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Passaggio 14.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Espandi $\ln ({(e^{6 x - 5 y})}^{- 1})$ spostando $- 1$ fuori dal logaritmo.

$- \ln (e^{6 x - 5 y}) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Passaggio 14.2.2

Espandi $\ln (e^{6 x - 5 y})$ spostando $6 x - 5 y$ fuori dal logaritmo.

$- ((6 x - 5 y) \ln (e)) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Passaggio 14.2.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- ((6 x - 5 y) \cdot 1) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Passaggio 14.2.4

Moltiplica $6 x - 5 y$ per $1$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Passaggio 14.3

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Riscrivi $\ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$ come $\ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36 e^{6 x})$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36 e^{6 x})$

Passaggio 14.3.2

Riscrivi $\ln (36 e^{6 x})$ come $\ln (36) + \ln (e^{6 x})$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + \ln (e^{6 x}))$

Passaggio 14.3.3

Espandi $\ln (e^{6 x})$ spostando $6 x$ fuori dal logaritmo.

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x \ln (e))$

Passaggio 14.3.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x \cdot 1)$

Passaggio 14.3.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Passaggio 14.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Semplifica $- (6 x - 5 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (6 x) - (- 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Passaggio 14.4.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1.2.1

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 x - (- 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Passaggio 14.4.1.2.2

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Passaggio 14.5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Semplifica $\ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36) - (6 x)$

Passaggio 14.5.1.1.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36) - 6 x$

Passaggio 14.5.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36}) - 6 x$

Passaggio 14.5.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1.3.1

Dividi la frazione $\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36}$ in due frazioni.

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x}}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Passaggio 14.5.1.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1.3.2.1

Scomponi $5 e^{6 x}$ da $30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1.3.2.1.1

Scomponi $5 e^{6 x}$ da $30 x e^{6 x}$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x) - 5 e^{6 x}}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Passaggio 14.5.1.3.2.1.2

Scomponi $5 e^{6 x}$ da $- 5 e^{6 x}$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x) + 5 e^{6 x} (- 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Passaggio 14.5.1.3.2.1.3

Scomponi $5 e^{6 x}$ da $5 e^{6 x} (6 x) + 5 e^{6 x} (- 1)$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Passaggio 14.5.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Passaggio 14.5.1.3.2.2.2

Dividi $C$ per $1$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x$

Passaggio 14.6

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.1

Somma $6 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x + 6 x$

Passaggio 14.6.2

Combina i termini opposti in $\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x + 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.2.1

Somma $- 6 x$ e $6 x$ .

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) + 0$

Passaggio 14.6.2.2

Somma $\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ e $0$ .

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$

Passaggio 14.7

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.7.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$

Passaggio 14.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.7.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$

Passaggio 14.7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$