Calcolo Esempi

$2 x y d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $2 x y d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- (1 + x^{2}) d y = - 2 x y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $1 + x^{2}$ da $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Passaggio 3.5

$- 2$ e $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $y$ da $(1 + x^{2}) y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (x y) d x$

Passaggio 3.6.2

Scomponi $y$ da $x y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Passaggio 3.6.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Passaggio 3.6.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{1 + x^{2}} x d x$

Passaggio 3.7

$\frac{- 2}{1 + x^{2}}$ e $x$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.4

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.1

Differenzia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 4.3.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.3.4.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.3.4.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 4.3.4.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 4.3.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 4.3.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.9

Semplifica.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| y |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

Passaggio 5.2

Sottrai $\ln (| 1 + x^{2} |)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \ln (| y |) = C - \ln (| 1 + x^{2} |)$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| y |) = C - \ln (| 1 + x^{2} |)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| y |) = C - \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi $\ln (| y |)$ per $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{1}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Dividi $\ln (| 1 + x^{2} |)$ per $1$ .

$\ln (| y |) = - C + \ln (| 1 + x^{2} |)$

Passaggio 5.4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = - C$

Passaggio 5.5

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = - C$

Passaggio 5.6

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{- C}$

Passaggio 5.7

Riscrivi $\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}$

Passaggio 5.8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- C}$

Passaggio 5.8.2

Moltiplica ogni lato per $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- C} | 1 + x^{2} |$

Passaggio 5.8.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1

Elimina il fattore comune di $| 1 + x^{2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- C} | 1 + x^{2} |$

Passaggio 5.8.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = e^{- C} | 1 + x^{2} |$

Passaggio 5.8.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1

Riordina i fattori in $e^{- C} | 1 + x^{2} |$ .

$| y | = | 1 + x^{2} | e^{- C}$

Passaggio 5.8.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{2} | e^{- C}$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm | 1 + x^{2} | C$

Passaggio 6.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C | 1 + x^{2} |$