Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ , $(3, 1)$

Passaggio 1

Presupponi che $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ .

Passaggio 2

Controlla se la funzione è continua nelle vicinanze di $(3, 1)$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci i valori $(3, 1)$ in $\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$\sqrt{3 - y}$

Passaggio 2.1.2

Sostituisci $1$ a $y$ .

$\sqrt{3 - 1}$

Passaggio 2.1.3

Sottrai $1$ da $3$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 2.2

Poiché non c'è alcun logaritmo con argomento negativo o pari a zero, nessun radicale pari con radicando zero o negativo e nessuna frazione con zero al posto del denominatore, la funzione è continua su un intervallo aperto intorno al valore $x$ di $(3, 1)$ .

Continuo

Passaggio 3

Calcola la derivata parziale rispetto a $y$ .

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Passaggio 3.1

Imposta la derivata parziale.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sqrt{x - y}]$

Passaggio 3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - y}$ come ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = x - y$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x - y]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Passaggio 3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Passaggio 3.8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Passaggio 3.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x - y]$

Passaggio 3.8.3

Sposta ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Passaggio 3.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Passaggio 3.10

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Passaggio 3.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 3.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.14

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.14.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Passaggio 3.14.2

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{- 1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.14.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Controlla se la derivata parziale rispetto a $y$ è continua nelle vicinanze di $(3, 1)$ .

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Passaggio 4.1

Converti gli esponenti frazionari in radicali.

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Passaggio 4.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

Passaggio 4.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori $(3, 1)$ in $\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

Passaggio 4.2.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci $3$ a $y$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$

Passaggio 4.3

Continuo

Passaggio 5

Sia la funzione che la sua derivata parziale rispetto a $y$ sono continue su un intervallo aperto intorno al valore $x$ di $(3, 1)$ .

Un'unica soluzione