Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{4 x}}{2 \cos (2 y)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\cos (2 y)$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{2 \cos (2 y)}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $\cos (2 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $\cos (2 y)$ da $2 \cos (2 y)$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{\cos (2 y) \cdot 2}$

Passaggio 1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{\cos (2 y) \cdot 2}$

Passaggio 1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{4 x}}{2}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $2$ da $8 e^{4 x}$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2}$

Passaggio 1.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2 (1)}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{4 e^{4 x}}{1}$

Passaggio 1.2.2.2.4

Dividi $4 e^{4 x}$ per $1$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = 4 e^{4 x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\cos (2 y) d y = 4 e^{4 x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \cos (2 y) d y = \int 4 e^{4 x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = 2 y$ . Allora $d u_{1} = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = 2 y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Passaggio 2.2.2

$\cos (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C_{1}) = \int 4 e^{4 x} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \sin (u_{1}) + C_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 y$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int e^{4 x} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u_{2} = 4 x$ . Allora $d u_{2} = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u_{2} = 4 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \frac{4}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \frac{4}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = e^{4 x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) = e^{4 x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \sin (2 y)) = 2 (e^{4 x} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \sin (2 y))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 y)$ .

$2 \frac{\sin (2 y)}{2} = 2 (e^{4 x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\sin (2 y)}{2} = 2 (e^{4 x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (2 y) = 2 (e^{4 x} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (2 y) = 2 e^{4 x} + 2 K$

Passaggio 3.3

Riordina $2 e^{4 x}$ e $2 K$ .

$\sin (2 y) = 2 K + 2 e^{4 x}$

Passaggio 3.4

Trova il valore dell'incognita $y$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$

Passaggio 3.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\arcsin (K + 2 e^{4 x})}{2}$