Calcolo Esempi

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 7 \frac{d y}{d x} + 12 y = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$y'' - 7 y' + 12 y = 0$

Passaggio 2

Trova $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x})$

Passaggio 2.2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 2.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.2.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.2.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.2.7

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$6 e^{3 x} - 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$6 e^{3 x} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.3.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.3.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.3.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \cdot 4)$

Passaggio 2.3.3.6

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$6 e^{3 x} - 5 (4 \cdot e^{4 x})$

Passaggio 2.3.3.7

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

Passaggio 2.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

Passaggio 3

Trova $y''$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata.

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ .

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$y'' = 6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$y'' = 6 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y'' = 6 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Passaggio 3.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Passaggio 3.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$y'' = 6 (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $3$ per $6$ .

$y'' = 18 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 3.4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 3.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 3.4.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \cdot 4)$

Passaggio 3.4.6

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (4 e^{4 x})$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $4$ per $- 20$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 80 e^{4 x}$

Passaggio 4

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x}) - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $6$ per $- 7$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $- 20$ per $- 7$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Passaggio 5.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x}) + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

Passaggio 5.1.5

Moltiplica $2$ per $12$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

Passaggio 5.1.6

Moltiplica $- 5$ per $12$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $42 e^{3 x}$ da $18 e^{3 x}$ .

$- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Passaggio 5.3

Combina i termini opposti in $- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Somma $- 24 e^{3 x}$ e $24 e^{3 x}$ .

$0 - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $80 e^{4 x}$ da $0$ .

$- 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Passaggio 5.4

Somma $- 80 e^{4 x}$ e $140 e^{4 x}$ .

$60 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Passaggio 5.5

Sottrai $60 e^{4 x}$ da $60 e^{4 x}$ .

$0 = 0$

Passaggio 6

La soluzione data soddisfa l'equazione differenziale data.

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ è una soluzione a $y'' - 7 y' + 12 y = 0$