Calcolo Esempi

$t \frac{d y}{d x} = 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$t d y = (6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int t d y = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} d x + \int x (2 t - 1) d x$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + \int x (2 t - 1) d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2 t - 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2 t - 1$ fuori dall'integrale.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) \int x d x$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + (2 t - 1) \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6

Riordina i termini.

$t y + C_{1} = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + K$

Passaggio 3

Dividi per $t$ ciascun termine in $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $t$ ciascun termine in $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K}{t}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t) + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

Passaggio 3.3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

Passaggio 3.3.2.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - 1 \cdot x^{2}) + K}{t}$

Passaggio 3.3.2.4

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - x^{2}) + K}{t}$

Passaggio 3.3.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 x^{2} t) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Passaggio 3.3.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.6.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Passaggio 3.3.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Passaggio 3.3.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Passaggio 3.3.2.7

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.2.8

Combina $x^{2} t$ e $- \frac{x^{2}}{2}$ usando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.8.1

Riordina $x^{2}$ e $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.2.8.2

Per scrivere $t x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.2.8.3

$t x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.2.8.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.9.1

Scomponi $x^{2}$ da $t x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.9.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $t x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) - x^{2}}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.2.9.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.2.9.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2 - 1)}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.2.9.2

Sposta $2$ alla sinistra di $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.3

Per scrivere $6 e^{2 t} t x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

$6 e^{2 t} t x$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Scomponi $x$ da $6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1.1

Scomponi $x$ da $6 e^{2 t} t x \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.5.1.2

Scomponi $x$ da $x^{2} (2 t - 1)$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.5.1.3

Scomponi $x$ da $x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2 + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t) + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.5.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.5.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - 1 \cdot x)}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.5.6

Semplifica ciascun termine.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K}{t}$

Passaggio 3.3.6

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K \cdot \frac{2}{2}}{t}$

Passaggio 3.3.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

$K$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2}}{t}$

Passaggio 3.3.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Passaggio 3.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t) + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Passaggio 3.3.8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.8.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Passaggio 3.3.8.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Passaggio 3.3.8.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Passaggio 3.3.8.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.8.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.8.3.1.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 (x \cdot x) t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Passaggio 3.3.8.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Passaggio 3.3.8.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.8.3.2.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - (x \cdot x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Passaggio 3.3.8.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + K \cdot 2}{2}}{t}$

Passaggio 3.3.8.4

Sposta $2$ alla sinistra di $K$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

Passaggio 3.3.9

Riordina i fattori in $\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = \frac{\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2} \cdot \frac{1}{t}$

Passaggio 3.3.11

Moltiplica $\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ per $\frac{1}{t}$ .

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2 t}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + K}{2 t}$