Calcolo Esempi

$2 y (x + 1) d y = x d x$

Passaggio 1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} (2 y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{1}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Passaggio 2.2

$2$ e $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

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Passaggio 2.3.1

Scomponi $x + 1$ da $y (x + 1)$ .

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Passaggio 2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$2 y d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Passaggio 2.4

$\frac{1}{x + 1}$ e $x$ .

$2 y d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 2 y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 3.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 3.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.2.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 3.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 3.2.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 3.2.3.2.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Dividi $x$ per $x + 1$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Passaggio 3.3.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Passaggio 3.3.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Passaggio 3.3.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Passaggio 3.3.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 3.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 3.3.3

Applica la regola costante.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 3.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 3.3.5

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.3.5.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.3.5.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 3.3.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.3.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.3.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.3.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Passaggio 3.3.7

Semplifica.

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

Passaggio 3.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y^{2} = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Passaggio 4.2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.2.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Passaggio 4.2.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Passaggio 4.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$