Calcolo Esempi

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + (\cos (θ)) r = \tan (θ)$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $\sin (θ) r$ .

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ è $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ dove $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = r$ .

$\sin (θ) \frac{d}{d θ} [r] + r \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d θ} [r]$ come $r'$ .

$\sin (θ) r' + r \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Passaggio 1.3

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$\sin (θ) r' + r \cos (θ)$

Passaggio 1.4

Sostituisci $\frac{d r}{d θ}$ a $r'$ .

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + r \cos (θ)$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ) r] = \tan (θ)$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d θ} [\sin (θ) r] d θ = \int \tan (θ) d θ$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$\sin (θ) r = \int \tan (θ) d θ$

Passaggio 5

L'integrale di $\tan (θ)$ rispetto a $θ$ è $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$

Passaggio 6

Dividi per $\sin (θ)$ ciascun termine in $\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividi per $\sin (θ)$ ciascun termine in $\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$ .

$\frac{\sin (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $r$ per $1$ .

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1.1

Frazioni separate.

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Passaggio 6.3.1.2

Converti da $\frac{1}{\sin (θ)}$ a $\csc (θ)$ .

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{1} \csc (θ) + \frac{C}{\sin (θ)}$

Passaggio 6.3.1.3

Dividi $\ln (| \sec (θ) |)$ per $1$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{\sin (θ)}$

Passaggio 6.3.1.4

Frazioni separate.

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$

Passaggio 6.3.1.5

Converti da $\frac{1}{\sin (θ)}$ a $\csc (θ)$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{1} \csc (θ)$

Passaggio 6.3.1.6

Dividi $C$ per $1$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + C \csc (θ)$