Calcolo Esempi

$e^{x} e^{y} d x - e^{- 2 y} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $e^{x} e^{y} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- e^{- 2 y} d y = - e^{x} e^{y} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} (- e^{- 2 y}) d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{1}{e^{y}} e^{- 2 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Passaggio 3.2

$e^{- 2 y}$ e $\frac{1}{e^{y}}$ .

$- \frac{e^{- 2 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $e^{- 2 y}$ e $e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $e^{y}$ da $e^{- 2 y}$ .

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Passaggio 3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Passaggio 3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{e^{- 3 y}}{1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Passaggio 3.3.2.4

Dividi $e^{- 3 y}$ per $1$ .

$- e^{- 3 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- e^{- 3 y} d y = - \frac{1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{e^{y}}$ nel numeratore.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $e^{y}$ da $e^{x} e^{y}$ .

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

Passaggio 3.5.3

Elimina il fattore comune.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi l'espressione.

$- e^{- 3 y} d y = - (e^{x - y} e^{y}) d x$

Passaggio 3.6

Moltiplica $e^{x - y}$ per $e^{y}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x - y + y} d x$

Passaggio 3.6.2

Combina i termini opposti in $x - y + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Somma $- y$ e $y$ .

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x + 0} d x$

Passaggio 3.6.2.2

Somma $x$ e $0$ .

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int - e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.2.2

Sia $u = - 3 y$ . Allora $d u = - 3 d y$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sia $u = - 3 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Differenzia $- 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 3 y]$

Passaggio 4.2.2.1.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3 y$ rispetto a $y$ è $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u = \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.2.3.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \int - \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- - \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.2.5.2

Moltiplica $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ per $1$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.2.6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.2.7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.2.8

Semplifica.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.2.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 y$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

Passaggio 4.3.2

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} = - e^{x} + K$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y}) = 3 (- e^{x} + K)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y})$ .

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Passaggio 5.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $e^{- 3 y}$ .

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x} + K)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $3 (- e^{x} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x}) + 3 K$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$e^{- 3 y} = - 3 e^{x} + 3 K$

Passaggio 5.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 3 y}) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Passaggio 5.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.1

Espandi $\ln (e^{- 3 y})$ spostando $- 3 y$ fuori dal logaritmo.

$- 3 y \ln (e) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Passaggio 5.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- 3 y \cdot 1 = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Passaggio 5.4.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Passaggio 5.5

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{3}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + K)}{3}$