Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{y} - y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\sqrt{y} - y$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{y} - y}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} + x}{\sqrt{y} - y}$

Passaggio 1.2.1.2

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{\frac{1}{2}} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{\sqrt{y} - y}$

Passaggio 1.2.1.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{1}}{\sqrt{y} - y}$

Passaggio 1.2.1.2.3

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{1}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{y} - y}$

Passaggio 1.2.1.2.4

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y} - y}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} - y}$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $y^{\frac{1}{2}}$ da $y^{\frac{1}{2}} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Scomponi $y^{\frac{1}{2}}$ da $- y$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.2.2.2.3

Scomponi $y^{\frac{1}{2}}$ da $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $\sqrt{y} - y$ per $\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(\sqrt{y} - y) (x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}}))}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{\frac{1}{2}} - y) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.2.4.2

Scomponi $y^{\frac{1}{2}}$ da $y^{\frac{1}{2}} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Scomponi $y^{\frac{1}{2}}$ da $- y$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.2.4.2.3

Scomponi $y^{\frac{1}{2}}$ da $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.2.6

Riscrivi l'espressione.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{1 - y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2.7

Elimina il fattore comune.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{1 - y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2.8

Dividi $x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})$ per $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.9

Applica la proprietà distributiva.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.11

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.11.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.11.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1 + 1}{2}}$

Passaggio 1.2.11.3

Somma $1$ e $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 1.2.11.4

Dividi $2$ per $2$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{1}$

Passaggio 1.2.12

Semplifica $x^{1}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(\sqrt{y} - y) d y = (x^{\frac{1}{2}} + x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \sqrt{y} - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \sqrt{y} d y + \int - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Passaggio 2.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int y^{\frac{1}{2}} d y + \int - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $y$ è $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} + \int - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} - \int y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{4} + \int x d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + K$