Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2} y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{3 x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Combina.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{3 x^{2} y^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $3 x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} (3 x^{2})}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} (3 x^{2})}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{3 x^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = \frac{1}{3 x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{3 x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{3 x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$ come $\frac{1}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3 x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3 x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (- \frac{1}{3 x} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3 x}) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3 x}$ nel numeratore.

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 x} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 (x)} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 x} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = \frac{- 1}{x} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{3} = - \frac{1}{x} + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x} + 3 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt[3]{- \frac{1}{x} + 3 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per scrivere $3 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x} + \frac{3 K x}{x}}$

Passaggio 3.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 1 + 3 K x}{x}}$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{- 1 + 3 K x}{x}}$ come $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Passaggio 3.4.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Passaggio 3.4.5.2

Eleva $\sqrt[3]{x}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Passaggio 3.4.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.4.5.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Passaggio 3.4.5.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.4.5.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.4.5.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.5.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.5.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Passaggio 3.4.5.5.5

Semplifica.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Passaggio 3.4.6

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ come $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.4.7

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- 1 + 3 K x) x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.4.8

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{(- 1 + 3 K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (- 1 + 3 K x)}}{x}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$