Calcolo Esempi

$(5 - x) e^{y} d x = x y d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$x y d y = (5 - x) e^{y} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x e^{y}}$ .

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x e^{y}$ .

$\frac{1}{x (e^{y})} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{1}{x (e^{y})} (x (y)) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Passaggio 3.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{y}} y d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{e^{y}}$ e $y$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $e^{y}$ da $x e^{y}$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} ((5 - x) e^{y}) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $e^{y}$ da $(5 - x) e^{y}$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x} (5 - x) d x$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $5 - x$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{5 - x}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Passaggio 4.2.1.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Passaggio 4.2.1.2.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Passaggio 4.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Passaggio 4.2.4.2

Moltiplica $\int e^{- y} d y$ per $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Passaggio 4.2.5

Sia $u = - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Sia $u = - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1.1

Differenzia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 4.2.5.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4.2.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Passaggio 4.2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Passaggio 4.2.7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Passaggio 4.2.8

Riscrivi $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ come $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ .

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Passaggio 4.2.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Passaggio 4.2.10

Riordina i termini.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} + \frac{- x}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 4.3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - 1 d x$

Passaggio 4.3.6

Applica la regola costante.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) - x + C_{3}$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \ln (| x |) - x + C_{4}$

Passaggio 4.3.8

Riordina i termini.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x + 5 \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} = - x + 5 \ln (| x |) + C$