Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + 2 y^{2}} \cos (x)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + 2 y^{2}} \cos (x))$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

$\frac{y}{1 + 2 y^{2}}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $1 + 2 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scomponi $y$ da $y \cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Passaggio 1.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Passaggio 1.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $y$ da $2 y^{2}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2.5

Dividi $2 y$ per $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int 2 y d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} + 2 \int y d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Semplifica.

$\ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.7.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.7.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.7.2.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\ln (| y |) + y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.8

Riordina i termini.

$y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$