Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 0$

Passaggio 1

Presupponi che tutte le soluzioni siano del tipo $y = e^{r x}$ .

Passaggio 2

Trova l'equazione caratteristica per $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 0$ .

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Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Passaggio 2.3

Sostituisci nell'equazione differenziale.

$r^{2} e^{r x} - e^{r x} = 0$

Passaggio 2.4

Metti in evidenza $e^{r x}$ .

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Passaggio 2.4.1

Scomponi $e^{r x}$ da $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - e^{r x} = 0$

Passaggio 2.4.2

Scomponi $e^{r x}$ da $- e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.4.3

Scomponi $e^{r x}$ da $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 1$ .

$e^{r x} (r^{2} - 1) = 0$

Passaggio 2.5

Poiché gli esponenziali non possono mai essere zero, dividi entrambi i lati per $e^{r x}$ .

$r^{2} - 1 = 0$

Passaggio 3

Risolvi per $r$ .

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Passaggio 3.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} = 1$

Passaggio 3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$r = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 3.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$r = \pm 1$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$r = 1$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$r = - 1$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$r = 1, - 1$

Passaggio 4

Con i due valori trovati di $r$ , è possibile costruire due soluzioni.

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- x}$

Passaggio 5

Secondo il principio di sovrapposizione, la soluzione generale è una combinazione lineare delle due soluzioni di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea.

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- x}$

Passaggio 6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- x}$