Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 1$ .

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1.1

Riordina $y^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\arctan (y) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (\ln (| x |) + C)$