Calcolo Esempi

$x^{3} d x + {(y + 1)}^{2} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x^{3} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(y + 1)}^{2} d y = - x^{3} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int {(y + 1)}^{2} d y = \int - x^{3} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = y + 1$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{2} d u = \int - x^{3} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 1$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \int x^{3} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $- (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ come $- \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} = - \frac{1}{4} x^{4} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3}) = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e ${(y + 1)}^{3}$ .

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$x^{4}$ e $\frac{1}{4}$ .

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $3 (- \frac{x^{4}}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

${(y + 1)}^{3} = - 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

$- 3$ e $\frac{x^{4}}{4}$ .

${(y + 1)}^{3} = \frac{- 3 x^{4}}{4} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${(y + 1)}^{3} = - \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi.

$y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $3$ da $- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $3$ da $- \frac{3 x^{4}}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $3$ da $3 K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $3$ da $3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)}$

Passaggio 3.4.4

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Passaggio 3.4.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

$K$ e $\frac{4}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Passaggio 3.4.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Passaggio 3.4.6

Sposta $4$ alla sinistra di $K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + 4 K}{4}}$

Passaggio 3.4.7

$3$ e $\frac{- x^{4} + 4 K}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$

Passaggio 3.4.8

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$ come $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Passaggio 3.4.9

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.4.10

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.10.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.4.10.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ alla potenza di $1$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.4.10.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.4.10.4

Somma $1$ e $2$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Passaggio 3.4.10.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ come $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.10.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4}$ come $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.4.10.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.4.10.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.10.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.10.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.10.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Passaggio 3.4.10.5.5

Calcola l'esponente.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Passaggio 3.4.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ come $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Passaggio 3.4.11.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Passaggio 3.4.11.3

Riscrivi $16$ come $2^{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.3.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Passaggio 3.4.11.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 3.4.11.4

Estrai i termini dal radicale.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Passaggio 3.4.11.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Passaggio 3.4.11.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

Passaggio 3.4.12

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.12.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

Passaggio 3.4.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.12.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2}$

Passaggio 3.5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$

Passaggio 3.6

Semplifica $\frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.6.2

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.6.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 2}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + K)} - 2}{2}$