Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} e^{x} y^{- 2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (- \frac{1}{4} e^{x} y^{- 2})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y^{- 2}} (e^{x} y^{- 2})$

Passaggio 1.2.2

Sposta $y^{- 2}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{2} (e^{x} y^{- 2})$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sposta $y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} (y^{- 2} y^{2}) e^{x}$

Passaggio 1.2.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{- 2 + 2} e^{x}$

Passaggio 1.2.3.3

Somma $- 2$ e $2$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{0} e^{x}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica $- \frac{1}{4} y^{0} e^{x}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} e^{x}$

Passaggio 1.2.5

$e^{x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{e^{x}}{4}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = - \frac{e^{x}}{4} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $y^{- 2}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{4} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int e^{x} d x)$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} (e^{x} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} e^{x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{4} e^{x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$e^{x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{e^{x}}{4} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $3 (- \frac{e^{x}}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{e^{x}}{4} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

$- 3$ e $\frac{e^{x}}{4}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 e^{x}}{4} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{3} = - \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt[3]{- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $3$ da $- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $3$ da $- \frac{3 e^{x}}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $3$ da $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $3$ da $3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + K)}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$K$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Passaggio 3.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- e^{x} + K \cdot 4}{4}}$

Passaggio 3.4.4

Sposta $4$ alla sinistra di $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- e^{x} + 4 K}{4}}$

Passaggio 3.4.5

$3$ e $\frac{- e^{x} + 4 K}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- e^{x} + 4 K)}{4}}$

Passaggio 3.4.6

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{3 (- e^{x} + 4 K)}{4}}$ come $\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.4.8

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.4.8.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Passaggio 3.4.8.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ come $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4}$ come $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.4.8.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.4.8.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.8.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.8.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Passaggio 3.4.8.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Passaggio 3.4.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ come $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Passaggio 3.4.9.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Passaggio 3.4.9.3

Riscrivi $16$ come $2^{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.3.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Passaggio 3.4.9.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 3.4.9.4

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Passaggio 3.4.9.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Passaggio 3.4.9.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{4}$

Passaggio 3.4.10

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.10.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.10.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.10.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- e^{x} + K)}}{2}$