Calcolo Esempi

$x (1 + 3 y^{2}) d y - (1 + 2 x^{2}) d x = 0$

Passaggio 1

Somma $(1 + 2 x^{2}) d x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x (1 + 3 y^{2}) d y = (1 + 2 x^{2}) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x (1 + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} (x (1 + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$(1 + 3 y^{2}) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1 + 2 x^{2}$ .

$(1 + 3 y^{2}) d y = \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 1 + 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} + 3 \int y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Semplifica.

$y + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4.2.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.2.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + \frac{3}{3} y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4.2.5.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + \frac{3}{3} y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4.2.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + 1 y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4.2.5.2.3

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$y + y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4.2.6

Riordina i termini.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $x$ da $2 x^{2}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x} d x$

Passaggio 4.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x$

Passaggio 4.3.3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x$

Passaggio 4.3.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x$

Passaggio 4.3.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{1} d x$

Passaggio 4.3.3.2.5

Dividi $2 x$ per $1$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int 2 x d x$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int 2 x d x$

Passaggio 4.3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + 2 \int x d x$

Passaggio 4.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Semplifica.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{6}$

Passaggio 4.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{2}{2} x^{2} + C_{6}$

Passaggio 4.3.7.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{2}{2} x^{2} + C_{6}$

Passaggio 4.3.7.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + 1 x^{2} + C_{6}$

Passaggio 4.3.7.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + x^{2} + C_{6}$

Passaggio 4.3.8

Riordina i termini.

$y^{3} + y + C_{3} = x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y^{3} + y = x^{2} + \ln (| x |) + C$