Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$y + C_{1} = \int {(1 - \tan (x))}^{5} \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 1 - \tan (x)$ . Allora $d u = - \sec^{2} (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 1 - \tan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $1 - \tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.3.2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \tan (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$0 - \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.3.2.1.4

Sottrai $\sec^{2} (x)$ da $0$ .

$- \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int - u^{5} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \int u^{5} d u$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Riscrivi $- (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$ come $- \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - \tan (x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + K$