Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 x^{2} + y^{2})}{2 x^{3}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Metti in evidenza $\frac{y}{x}$ in $\frac{y (2 x^{2} + y^{2})}{2 x^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $\frac{y}{x}$ da $\frac{y (2 x^{2} + y^{2})}{2 x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{2 x^{2} + y^{2}}{2 x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Riordina $\frac{y}{x}$ e $\frac{2 x^{2} + y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + y^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2

Dividi $\frac{2 x^{2} + y^{2}}{2 x^{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi la frazione $\frac{2 x^{2} + y^{2}}{2 x^{2}}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = (1 + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Passaggio 1.3

Metti in evidenza $\frac{y}{x}$ in $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $\frac{y}{x}$ da $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x}) \frac{y}{x}$

Passaggio 1.3.2

Riordina $\frac{y}{x}$ e $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 + \frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x}) \frac{y}{x}$

Passaggio 1.4

Metti in evidenza $\frac{y}{x}$ in $\frac{y}{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $\frac{y}{x}$ da $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x}) \frac{y}{x}$

Passaggio 1.4.2

Riordina $\frac{y}{x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}) \frac{y}{x}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 + \frac{1}{2} V \cdot V) V$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (1 + \frac{1}{2} V \cdot V) V$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Semplifica $(1 + \frac{1}{2} \cdot (V \cdot V)) V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Riscrivi.

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (1 + \frac{1}{2} \cdot (V \cdot V)) V$

Passaggio 6.1.1.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$x \frac{d V}{d x} + V = (1 + \frac{1}{2} \cdot (V \cdot V)) V$

Passaggio 6.1.1.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.3.1

Moltiplica $V$ per $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (1 + \frac{1}{2} \cdot V^{2}) V$

Passaggio 6.1.1.1.3.2

$\frac{1}{2}$ e $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (1 + \frac{V^{2}}{2}) V$

Passaggio 6.1.1.1.4

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \frac{d V}{d x} + V = 1 V + \frac{V^{2}}{2} V$

Passaggio 6.1.1.1.4.2

Moltiplica $V$ per $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{V^{2}}{2} V$

Passaggio 6.1.1.1.5

Moltiplica $\frac{V^{2}}{2} V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.5.1

$\frac{V^{2}}{2}$ e $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{V^{2} V}{2}$

Passaggio 6.1.1.1.5.2

Moltiplica $V^{2}$ per $V$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.5.2.1

Moltiplica $V^{2}$ per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.5.2.1.1

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{V^{2} V^{1}}{2}$

Passaggio 6.1.1.1.5.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{V^{2 + 1}}{2}$

Passaggio 6.1.1.1.5.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{V^{3}}{2}$

Passaggio 6.1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{V^{3}}{2} - V$

Passaggio 6.1.1.2.2

Combina i termini opposti in $V + \frac{V^{3}}{2} - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + 0$

Passaggio 6.1.1.2.2.2

Somma $\frac{V^{3}}{2}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2

Combina.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{2 x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3

Moltiplica $V^{3}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2 x}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{V^{3}}$ .

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{2 x}$

Passaggio 6.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Combina.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{3}}{V^{3} (2 x)}$

Passaggio 6.1.3.2

Elimina il fattore comune di $V^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{3}}{V^{3} (2 x)}$

Passaggio 6.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{V^{3}} d V = \frac{1}{2 x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{V^{3}} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Sposta $V^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(V^{3})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(V^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{3 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $V^{- 3}$ rispetto a $V$ è $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1}$ come $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{V^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Passaggio 6.2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 6.3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 V^{2}, 1, 1$

Passaggio 6.3.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$2 V^{2}$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica per $2 V^{2}$ ciascun termine in $- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ per $2 V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Passaggio 6.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 V^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 V^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Passaggio 6.3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Passaggio 6.3.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Passaggio 6.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 = 2 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Passaggio 6.3.3.3.1.2

Semplifica $2 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$- 1 = \ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Passaggio 6.3.3.3.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Passaggio 6.3.3.3.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Passaggio 6.3.3.3.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = \ln ({| x |}^{1}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Passaggio 6.3.3.3.1.4

Semplifica.

$- 1 = \ln (| x |) V^{2} + C (2 V^{2})$

Passaggio 6.3.3.3.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 = \ln (| x |) V^{2} + 2 C V^{2}$

Passaggio 6.3.3.3.2

Riordina i fattori in $\ln (| x |) V^{2} + 2 C V^{2}$ .

$- 1 = V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2}$

Passaggio 6.3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2} = - 1$ .

$V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2} = - 1$

Passaggio 6.3.4.2

Scomponi $V^{2}$ da $V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.2.1

Scomponi $V^{2}$ da $2 C V^{2}$ .

$V^{2} \ln (| x |) + V^{2} (2 C) = - 1$

Passaggio 6.3.4.2.2

Scomponi $V^{2}$ da $V^{2} \ln (| x |) + V^{2} (2 C)$ .

$V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$

Passaggio 6.3.4.3

Dividi per $\ln (| x |) + 2 C$ ciascun termine in $V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.3.1

Dividi per $\ln (| x |) + 2 C$ ciascun termine in $V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$ .

$\frac{V^{2} (\ln (| x |) + 2 C)}{\ln (| x |) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Passaggio 6.3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (| x |) + 2 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{V^{2} (\ln (| x |) + 2 C)}{\ln (| x |) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Passaggio 6.3.4.3.2.1.2

Dividi $V^{2}$ per $1$ .

$V^{2} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Passaggio 6.3.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V^{2} = - \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Passaggio 6.3.4.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$V = \pm \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Passaggio 6.3.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.