Calcolo Esempi

$(1 + y) d x - (1 - x) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(1 + y) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- (1 - x) d y = - (1 + y) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ .

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 - x)) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $1 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ nel numeratore.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $1 + y$ da $(1 - x) (1 + y)$ .

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Passaggio 3.5.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int - \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4.2.2

Sia $u_{1} = 1 + y$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sia $u_{1} = 1 + y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Differenzia $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 4.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4.2.2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4.2.2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.2.2.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4.2.3

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4.2.4

Semplifica.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + y$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u_{2} = 1 - x$ . Allora $d u_{2} = - d x$ , quindi $- d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u_{2} = 1 - x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5.2

Moltiplica $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ per $1$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 - x$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| 1 + y |) = \ln (| 1 - x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 - x |) = C$

Passaggio 5.2

Somma $\ln (| 1 - x |)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \ln (| 1 + y |) = C + \ln (| 1 - x |)$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 1 + y |) = C + \ln (| 1 - x |)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 1 + y |) = C + \ln (| 1 - x |)$ .

$\frac{- \ln (| 1 + y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| 1 + y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi $\ln (| 1 + y |)$ per $1$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 + y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| 1 + y |) = - C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 + y |) = - C - 1 \cdot \ln (| 1 - x |)$

Passaggio 5.3.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (| 1 - x |)$ come $- \ln (| 1 - x |)$ .

$\ln (| 1 + y |) = - C - \ln (| 1 - x |)$

Passaggio 5.4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 + y |) + \ln (| 1 - x |) = - C$

Passaggio 5.5

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y | | 1 - x |) = - C$

Passaggio 5.6

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (1 + y) (1 - x) |) = - C$

Passaggio 5.7

Espandi $(1 + y) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 (1 - x) + y (1 - x) |) = - C$

Passaggio 5.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y (1 - x) |) = - C$

Passaggio 5.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = - C$

Passaggio 5.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\ln (| 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = - C$

Passaggio 5.8.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$\ln (| 1 - x + y \cdot 1 + y (- x) |) = - C$

Passaggio 5.8.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\ln (| 1 - x + y + y (- x) |) = - C$

Passaggio 5.8.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\ln (| 1 - x + y - y x |) = - C$

Passaggio 5.9

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 1 - x + y - y x |)} = e^{- C}$

Passaggio 5.10

Riscrivi $\ln (| 1 - x + y - y x |) = - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | 1 - x + y - y x |$

Passaggio 5.11

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.1

Riscrivi l'equazione come $| 1 - x + y - y x | = e^{- C}$ .

$| 1 - x + y - y x | = e^{- C}$

Passaggio 5.11.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 - x + y - y x = \pm e^{- C}$

Passaggio 5.11.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x + y - y x = \pm e^{- C} - 1$

Passaggio 5.11.3.2

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y - y x = \pm e^{- C} - 1 + x$

Passaggio 5.11.4

Scomponi $y$ da $y - y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.1

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{- C} - 1 + x$

Passaggio 5.11.4.2

Scomponi $y$ da $- y x$ .

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

Passaggio 5.11.4.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ .

$y (1 - 1 x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

Passaggio 5.11.5

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

Passaggio 5.11.6

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.6.1

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Passaggio 5.11.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.6.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Passaggio 5.11.6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Passaggio 5.11.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Passaggio 5.11.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Passaggio 5.11.6.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 1 + x}{1 - x}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C + x}{1 - x}$