Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x y^{2}}{x^{2} y - x^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} + x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{2}}{x^{2} y - x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} x}{x^{2} y - x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} \cdot 1 + y^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot (1 + x)}{x^{2} y - x^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $y^{2}$ per $1 + x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} y - x^{2}}$

Passaggio 1.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} y - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y) - x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y) + x^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (y) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y - 1)}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y - 1} \cdot \frac{1 + x}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{y - 1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{y - 1} \cdot \frac{1 + x}{x^{2}})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{y^{2}}{y - 1}$ per $\frac{1 + x}{x^{2}}$ .

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) x^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $y - 1$ da $(y - 1) x^{2}$ .

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) (x^{2})}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x^{2}}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y - 1}{y^{2}} d y = \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y - 1}{y^{2}} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (y - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (y - 1) y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $(y - 1) y^{- 2}$ .

$\int y \cdot y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $y$ per $y^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int y^{1} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int y^{1 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3.1.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\int y^{- 1} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi $- 1 y^{- 2}$ come $- y^{- 2}$ .

$\int y^{- 1} - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y^{- 1} d y + \int - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $y^{- 1}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Semplifica.

$\ln (| y |) - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.8.2.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $1$ .

$\ln (| y |) + \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.9

Riordina i termini.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x$

Passaggio 2.3.3.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - x^{- 1} + C_{4} + \int x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - x^{- 1} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$