Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

Passaggio 1

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + e^{V}$

Passaggio 2

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 3

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 4

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + e^{V}$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = V + e^{V} - V$

Passaggio 5.1.1.1.2

Combina i termini opposti in $V + e^{V} - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + e^{V}$

Passaggio 5.1.1.1.2.2

Somma $0$ e $e^{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = e^{V}$

Passaggio 5.1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

Passaggio 5.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

Passaggio 5.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{e^{V}}{x}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{V}}$ .

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{V}} \cdot \frac{e^{V}}{x}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Combina.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

Passaggio 5.1.3.2

Elimina il fattore comune di $e^{V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

Passaggio 5.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{V}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{V})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{V})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{V \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $V$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 V$ come $- V$ .

$\int 1 e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Moltiplica $e^{- V}$ per $1$ .

$\int e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.2

Sia $u = - V$ . Allora $d u = - d V$ , quindi $- d u = d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Sia $u = - V$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Differenzia $- V$ .

$\frac{d}{d V} [- V]$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $- V$ rispetto a $V$ è $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$- \frac{d}{d V} [V]$

Passaggio 5.2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 5.2.2.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 5.2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.5

Semplifica.

$- e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- V$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 5.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- e^{- V} = \ln (| x |) + C$

Passaggio 5.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ .

$\frac{- e^{- V}}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{e^{- V}}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Dividi $e^{- V}$ per $1$ .

$e^{- V} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$e^{- V} = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (| x |)$ come $- \ln (| x |)$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Passaggio 5.3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - C$

Passaggio 5.3.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- V}) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Passaggio 5.3.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Espandi $\ln (e^{- V})$ spostando $- V$ fuori dal logaritmo.

$- V \ln (e) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Passaggio 5.3.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- V \cdot 1 = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Passaggio 5.3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Passaggio 5.3.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{V}{1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Passaggio 5.3.4.2.2

Dividi $V$ per $1$ .

$V = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Passaggio 5.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$

Passaggio 5.3.4.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$ come $- \ln (- \ln (| x |) - C)$ .

$V = - \ln (- \ln (| x |) - C)$

Passaggio 5.4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 7

Risolvi $\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Riordina i fattori in $- \ln (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = - x \ln (- \ln (| x |) + C)$