Calcolo Esempi

$\frac{z + 5}{4 z + 19} d z = d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi $z + 5$ per $4 z + 19$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$4 z$

$19$

$z$

$5$

Passaggio 2.3.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $z$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 z$ .

					$\frac{1}{4}$
	$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			+	$z$	+	$\frac{19}{4}$

Passaggio 2.3.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $z + \frac{19}{4}$

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			-	$z$	-	$\frac{19}{4}$

Passaggio 2.3.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			-	$z$	-	$\frac{19}{4}$
					+	$\frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4} d z + \int \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \int \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $z$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 z + 19} d z$

Passaggio 2.3.5

Sia $u = 4 z + 19$ . Allora $d u = 4 d z$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d z$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Sia $u = 4 z + 19$ . Trova $\frac{d u}{d z}$ .

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Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $4 z + 19$ .

$\frac{d}{d z} [4 z + 19]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 z + 19$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [19]$ .

$\frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [19]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Calcola $\frac{d}{d z} [4 z]$ .

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Passaggio 2.3.5.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $4 z$ rispetto a $z$ è $4 \frac{d}{d z} [z]$ .

$4 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [19]$

Passaggio 2.3.5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [19]$

Passaggio 2.3.5.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d z} [19]$

Passaggio 2.3.5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.5.1.4.1

Poiché $19$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $19$ rispetto a $z$ è $0$ .

$4 + 0$

Passaggio 2.3.5.1.4.2

Somma $4$ e $0$ .

$4$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Passaggio 2.3.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u} d u$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

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Passaggio 2.3.8.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.8.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.9

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{16} (\ln (| u |) + C_{3})$

Passaggio 2.3.10

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| u |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 z + 19$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| 4 z + 19 |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| 4 z + 19 |) + C$