Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 6 x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.2.2

$6$ e $\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di ${(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi ${(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ da $x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} ({(y - 1)}^{\frac{2}{3}} x)$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} ({(y - 1)}^{\frac{2}{3}} x)$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 6 x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} d y = 6 x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} d y = \int 6 x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = y - 1$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y - 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u = \int 6 x d x$

Passaggio 2.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta $u^{\frac{2}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u = \int 6 x d x$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u = \int 6 x d x$

Passaggio 2.2.2.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u = \int 6 x d x$

Passaggio 2.2.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 2}{3}} d u = \int 6 x d x$

Passaggio 2.2.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int u^{- \frac{2}{3}} d u = \int 6 x d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{2}{3}}$ rispetto a $u$ è $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$3 u^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int 6 x d x$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y - 1$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int 6 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$6$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$ .

$\frac{3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi ${(y - 1)}^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = x^{2} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Semplifica ${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y - 1)}^{1} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Semplifica.

$y - 1 = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$y - 1 = {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 1 = x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y - 1 = x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.2.1

Scomponi $3$ da $3 {(x^{2})}^{2}$ .

$y - 1 = x^{6} + 3 ({(x^{2})}^{2}) \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y - 1 = x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y - 1 = x^{6} + {(x^{2})}^{2} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{2 \cdot 2} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{K}{3}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.5.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 (x^{2}) \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.5.2

Scomponi $3$ da $3^{2}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 (x^{2}) \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.5.3

Elimina il fattore comune.

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + x^{2} \frac{K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.6

$x^{2}$ e $\frac{K^{2}}{3}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.7

Applica la regola del prodotto a $\frac{K}{3}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

Passaggio 3.3.2.1.2.8

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

Passaggio 3.4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27} + 1$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K}{3} + K$