Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{5 x}$ per $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{1}{5 x y}$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{5 x y}$

Passaggio 1.3.3.2

Scomponi $y$ da $5 x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{y (5 x)}$

Passaggio 1.3.3.3

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{y (5 x)}$

Passaggio 1.3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$y d y = - \frac{1}{5 x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int - \frac{1}{5 x} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{5 x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{5 x} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\ln (| x |)$ e $\frac{1}{5}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{\ln (| x |)}{5} + C)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{\ln (| x |)}{5}) + 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $2 (- \frac{\ln (| x |)}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{\ln (| x |)}{5} + 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

$- 2$ e $\frac{\ln (| x |)}{5}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 \ln (| x |)}{5} + 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{2 \ln (| x |)}{5} + 2 C$

Passaggio 3.3

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y^{2} = - \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C}$

Passaggio 3.5

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi $\frac{\ln ({| x |}^{2})}{5}$ come $\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})) + 2 C}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica $\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})$ spostando $\frac{1}{5}$ all'interno del logaritmo.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({({| x |}^{2})}^{\frac{1}{5}}) + 2 C}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica gli esponenti in ${({| x |}^{2})}^{\frac{1}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{2 (\frac{1}{5})}) + 2 C}$

Passaggio 3.5.3.2

$2$ e $\frac{1}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Passaggio 3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + C}$