Calcolo Esempi

${(x + y)}^{2} d x + (2 x y + x^{2} - 1) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = {(x + y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{2}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi ${(x + y)}^{2}$ come $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [(x + y) (x + y)]$

Passaggio 1.3

Espandi $(x + y) (x + y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (x + y) + y (x + y)]$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cdot x + x y + y (x + y)]$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cdot x + x y + y x + y \cdot y]$

Passaggio 1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + y x + y \cdot y]$

Passaggio 1.4.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + y x + y^{2}]$

Passaggio 1.4.2

Somma $x y$ e $y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Riordina $y$ e $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + x y + y^{2}]$

Passaggio 1.4.2.2

Somma $x y$ e $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

Passaggio 1.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.6

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.7

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.8

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 2 x y + x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2} - 1]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y + x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Somma $2 y + 2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x + 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int {(x + y)}^{2} d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = {(x + y)}^{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = x + y$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sia $u = x + y$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Differenzia $x + y$ .

$\frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 5.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 5.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 5.1.1.4

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$f (x, y) = \int u^{2} d u$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8.3.4

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (0 + 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8.3.6

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8.3.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8.3.8

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8.3.9

$\frac{3}{3}$ e ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8.3.10

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8.3.10.2

Dividi ${(x + y)}^{2}$ per $1$ .

${(x + y)}^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

${(x + y)}^{2} + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 8.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + {(x + y)}^{2} = 2 x y + x^{2} - 1$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sottrai ${(x + y)}^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2} d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2} d y$

Passaggio 10.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (y) = \int 2 x y d y + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Passaggio 10.4

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2 x$ fuori dall'integrale.

$g (y) = 2 x \int y d y + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Passaggio 10.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Passaggio 10.6

Applica la regola costante.

$g (y) = 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x^{2} y + C + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Passaggio 10.7

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Passaggio 10.8

Applica la regola costante.

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Passaggio 10.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - \int {(x + y)}^{2} d y$

Passaggio 10.10

Sia $u = x + y$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.10.1

Sia $u = x + y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.10.1.1

Differenzia $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Passaggio 10.10.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 10.10.1.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 10.10.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 10.10.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 10.10.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - \int u^{2} d u$

Passaggio 10.11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 10.12

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - (\frac{u^{3}}{3} + C)$

Passaggio 10.13

Semplifica.

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{u^{3}}{3} + C$

Passaggio 10.14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{{(x + y)}^{3}}{3} + C$

Passaggio 10.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.15.1

Riordina i termini.

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - (\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}) + C$

Passaggio 10.15.2

Rimuovi le parentesi.

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Passaggio 12

Combina i termini opposti in $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sottrai $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ da $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ .

$f (x, y) = x y^{2} + x^{2} y - y + 0 + C$

Passaggio 12.2

Somma $x y^{2} + x^{2} y - y$ e $0$ .

$f (x, y) = x y^{2} + x^{2} y - y + C$