Calcolo Esempi

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + y} \cdot \frac{d y}{d x} = 2 x$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + y}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} = 2 x$

Passaggio 1.1.2

Moltiplica ogni lato per $1 + y$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} (1 + y) = 2 x (1 + y)$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $1 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} (1 + y) = 2 x (1 + y)$

Passaggio 1.1.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 x (1 + y)$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Semplifica $2 x (1 + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 x \cdot 1 + 2 x y$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 x + 2 x y$

Passaggio 1.1.3.2.1.2.2

Riordina $2 x$ e $2 x y$ .

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x$

Passaggio 1.1.4

Dividi per $\sqrt{1 + x^{2}}$ ciascun termine in $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Dividi per $\sqrt{1 + x^{2}}$ ciascun termine in $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.1

Moltiplica $\frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2.2

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2.3

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ come $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.2.6.5

Semplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.3

Moltiplica $\frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.4.1

Moltiplica $\frac{2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.4.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ come $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Passaggio 1.1.4.3.1.4.6.5

Semplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.4.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}} + 2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.4.3.2.2

Scomponi $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ da $2 x y \sqrt{1 + x^{2}} + 2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.2.2.1

Scomponi $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ da $2 x y \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (y) + 2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.4.3.2.2.2

Scomponi $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ da $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (y) + 2 x \sqrt{1 + x^{2}} (1)}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.4.3.2.2.3

Scomponi $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ da $2 x \sqrt{1 + x^{2}} (y) + 2 x \sqrt{1 + x^{2}} (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (y + 1)}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $y + 1$ da $\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = y + 1$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = y + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Allora $d u_{2} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 1 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.1.3

Moltiplica $\int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$ per $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{2}}$ come ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.3

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.1

Sposta ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.3.2

Moltiplica $u_{2}$ per ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.2.1

Moltiplica $u_{2}$ per ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.2.1.1

Eleva $u_{2}$ alla potenza di $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.3.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.1

Sposta ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.4.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y + 1 |) = 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y + 1 |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y + 1 | = e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y + 1 | = e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} - 1$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ come $e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C} - 1$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 1$