Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x y}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1}{y x}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1}{y x}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Passaggio 3.3

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y^{2} = \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Passaggio 3.5

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = \pm \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Passaggio 3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$