Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Passaggio 1

Sia $v = \frac{d y}{d x}$ . Allora $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Sostituisci $v$ a $\frac{d y}{d x}$ e $\frac{d v}{d x}$ a $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ per ottenere un'equazione differenziale con una variabile dipendente $v$ e una variabile indipendente $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = \cos (x)$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{x + C_{1}}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$

Passaggio 3.2

Riordina i fattori in $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = e^{x} \cos (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = e^{x} \cos (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int e^{x} \cos (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{x} v = \int e^{x} \cos (x) d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riordina $e^{x}$ e $\cos (x)$ .

$e^{x} v = \int \cos (x) e^{x} d x$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \cos (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x$

Passaggio 7.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Passaggio 7.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ per $1$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Passaggio 7.4.3

Riordina $e^{x}$ e $\sin (x)$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int \sin (x) e^{x} d x$

Passaggio 7.5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sin (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Passaggio 7.6

Risolvendo $\int e^{x} \cos (x) d x$ , troviamo che $\int e^{x} \cos (x) d x$ = $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2}$ .

$e^{x} v = \frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$

Passaggio 7.7

Riscrivi $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$ come $\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ .

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$

Passaggio 8

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Scomponi $e^{x}$ da $\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1.1

Scomponi $e^{x}$ da $\cos (x) e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.1.1.1.2

Scomponi $e^{x}$ da $\sin (x) e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.1.1.1.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} (\cos (x) + \sin (x)))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

$v = \frac{\frac{1}{2} e^{x} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

$\frac{1}{2}$ e $e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.1.2

Scomponi $\frac{e^{x}}{2}$ da $\frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}}$ .

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.1.3

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$v = \frac{1}{2} (\cos (x) + \sin (x)) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$v = \frac{1}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.1.5

$\frac{1}{2}$ e $\cos (x)$ .

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.1.6

$\frac{1}{2}$ e $\sin (x)$ .

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Passaggio 10

Riscrivi l'equazione.

$d y = (\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

Passaggio 11

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Passaggio 11.2

Applica la regola costante.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Passaggio 11.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Passaggio 11.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \int \cos (x) d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Passaggio 11.3.3

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Passaggio 11.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} \int \sin (x) d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Passaggio 11.3.5

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Passaggio 11.3.6

Poiché $C_{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $C_{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 11.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.1

Nega l'esponente di $e^{x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Passaggio 11.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Passaggio 11.3.7.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Passaggio 11.3.7.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

Passaggio 11.3.7.2.2

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int e^{- x} d x$

Passaggio 11.3.8

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.8.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.8.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 11.3.8.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11.3.8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 11.3.8.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 11.3.8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int - e^{u} d u$

Passaggio 11.3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

Passaggio 11.3.10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

Passaggio 11.3.11

Semplifica.

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

Passaggio 11.3.12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Passaggio 11.3.13

Riordina i termini.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Passaggio 11.3.14

Riordina i termini.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C_{2} + C_{7}$

Passaggio 11.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $D$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C + D$