Calcolo Esempi

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + y + 3 = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riordina i fattori in $\cos (x) \frac{d y}{d x} + y + 3$ .

$\frac{d y}{d x} \cos (x) + y + 3 = 0$

Passaggio 1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) + 3 = - y$

Passaggio 1.1.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$

Passaggio 1.1.3

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Frazioni separate.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{y}{1} \sec (x)) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.3.1.4

Dividi $y$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - (y \sec (x)) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.3.1.5

Frazioni separate.

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.3.1.6

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) + \frac{- 3}{1} \sec (x)$

Passaggio 1.1.3.3.1.7

Dividi $- 3$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) - 3 \sec (x)$

Passaggio 1.2

Scomponi $\sec (x)$ da $- y \sec (x) - 3 \sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $\sec (x)$ da $- y \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y) - 3 \sec (x)$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $\sec (x)$ da $- 3 \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y) + \sec (x) \cdot - 3$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) (- y) + \sec (x) \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y - 3)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{- y - 3}$ .

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} (\sec (x) (- y - 3))$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $- y - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $- y - 3$ da $\sec (x) (- y - 3)$ .

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} ((- y - 3) \sec (x))$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} ((- y - 3) \sec (x))$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \sec (x)$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{- y - 3} d y = \sec (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{- y - 3} d y = \int \sec (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = - y - 3$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = - y - 3$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Passaggio 2.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \sec (x) d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y - 3$ .

$- \ln (| - y - 3 |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- \ln (| - y - 3 |) + C_{1} = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| - y - 3 |) = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (| - y - 3 |) - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = C$

Passaggio 3.2

Somma $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\frac{- \ln (| - y - 3 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| - y - 3 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi $\ln (| - y - 3 |)$ per $1$ .

$\ln (| - y - 3 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C - 1 \cdot \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Passaggio 3.3.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ come $- \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Passaggio 3.4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| - y - 3 |) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = - C$

Passaggio 3.5

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - y - 3 | | \sec (x) + \tan (x) |) = - C$

Passaggio 3.6

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (- y - 3) (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Passaggio 3.7

Espandi $(- y - 3) (\sec (x) + \tan (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| - y (\sec (x) + \tan (x)) - 3 (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Passaggio 3.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Passaggio 3.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |) = - C$

Passaggio 3.8

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |)} = e^{- C}$

Passaggio 3.9

Riscrivi $\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |) = - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |$

Passaggio 3.10

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.10.1

Riscrivi l'equazione come $| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) | = e^{- C}$ .

$| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) | = e^{- C}$

Passaggio 3.10.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$- y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) = \pm e^{- C}$

Passaggio 3.10.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1

Somma $3 \sec (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x)$

Passaggio 3.10.3.2

Somma $3 \tan (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y \sec (x) - y \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Passaggio 3.10.4

Scomponi $y$ da $- y \sec (x) - y \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.4.1

Scomponi $y$ da $- y \sec (x)$ .

$y (- 1 \sec (x)) - y \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Passaggio 3.10.4.2

Scomponi $y$ da $- y \tan (x)$ .

$y (- 1 \sec (x)) + y (- 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Passaggio 3.10.4.3

Scomponi $y$ da $y (- 1 \sec (x)) + y (- 1 \tan (x))$ .

$y (- 1 \sec (x) - 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Passaggio 3.10.5

Riscrivi $- 1 \sec (x)$ come $- \sec (x)$ .

$y (- \sec (x) - 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Passaggio 3.10.6

Riscrivi $- 1 \tan (x)$ come $- \tan (x)$ .

$y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Passaggio 3.10.7

Dividi per $- \sec (x) - \tan (x)$ ciascun termine in $y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.1

Dividi per $- \sec (x) - \tan (x)$ ciascun termine in $y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$ .

$\frac{y (- \sec (x) - \tan (x))}{- \sec (x) - \tan (x)} = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Passaggio 3.10.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.2.1

Elimina il fattore comune di $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (- \sec (x) - \tan (x))}{- \sec (x) - \tan (x)} = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Passaggio 3.10.7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Passaggio 3.10.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.3.1.1

Scomponi $- 1$ da $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.3.1.1.1

Scomponi $- 1$ da $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x)) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Passaggio 3.10.7.3.1.1.2

Scomponi $- 1$ da $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x)) - (\tan (x))} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Passaggio 3.10.7.3.1.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x) + \tan (x))} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Passaggio 3.10.7.3.1.2

Semplifica $\frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x) + \tan (x))}$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Passaggio 3.10.7.3.1.3

Scomponi $- 1$ da $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.3.1.3.1

Scomponi $- 1$ da $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x)) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Passaggio 3.10.7.3.1.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x)) - (\tan (x))} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Passaggio 3.10.7.3.1.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x) + \tan (x))} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Passaggio 3.10.7.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Passaggio 3.10.7.3.1.5

Scomponi $- 1$ da $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.3.1.5.1

Scomponi $- 1$ da $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x)) - \tan (x)}$

Passaggio 3.10.7.3.1.5.2

Scomponi $- 1$ da $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x)) - (\tan (x))}$

Passaggio 3.10.7.3.1.5.3

Scomponi $- 1$ da $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x) + \tan (x))}$

Passaggio 3.10.7.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.10.7.3.2

Riduci in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.10.7.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 3 \sec (x) - 3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C - 3 \sec (x) - 3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$