Calcolo Esempi

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} + u^{4} t^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $u t^{2}$ da $u t^{2} + u^{4} t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $u t^{2}$ da $u t^{2}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u^{4} t^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $u t^{2}$ da $u^{4} t^{2}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $u t^{2}$ da $u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u^{3})}$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} (1^{3} + u^{3})}$

Passaggio 1.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 1$ e $b = u$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2}))}$

Passaggio 1.1.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2}))}$

Passaggio 1.1.4.1.2

Riscrivi $- 1 u$ come $- u$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

Passaggio 1.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $u (1 + u) (1 - u + u^{2})$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $u$ per $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $u$ per $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{2}) (1 - u + u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4.4

Espandi $(u + u^{2}) (1 - u + u^{2})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4.5

Combina i termini opposti in $u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Riordina i fattori nei termini di $u \cdot u^{2}$ e $u^{2} (- u)$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} u + u^{2} \cdot 1 - u^{2} u + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4.5.2

Sottrai $u^{2} u$ da $u^{2} u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + 0 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4.5.3

Somma $u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1$ e $0$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

Moltiplica $u$ per $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4.6.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u \cdot u + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4.6.3

Moltiplica $u$ per $u$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.3.1

Sposta $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - (u \cdot u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4.6.3.2

Moltiplica $u$ per $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4.6.4

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4.6.5

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.5.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4.6.5.2

Somma $2$ e $2$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{4}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4.7

Combina i termini opposti in $u - u^{2} + u^{2} + u^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.1

Somma $- u^{2}$ e $u^{2}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + 0 + u^{4}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4.7.2

Somma $u$ e $0$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) (\frac{1 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Passaggio 1.4.8

Moltiplica $\frac{1 + t^{4}}{t^{2}}$ per $\frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{1 + t^{4}}{t^{2} (u (1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

Passaggio 1.4.9

Rimuovi le parentesi.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{1 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.4.10

Moltiplica $u + u^{4}$ per $\frac{1 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u + u^{4}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.4.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.11.1

Scomponi $u$ da $u + u^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.11.1.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u^{1} + u^{4}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.4.11.1.2

Scomponi $u$ da $u^{1}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u^{4}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.4.11.1.3

Scomponi $u$ da $u^{4}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u \cdot u^{3}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.4.11.1.4

Scomponi $u$ da $u \cdot 1 + u \cdot u^{3}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u^{3}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.4.11.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1^{3} + u^{3}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.4.11.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 1$ e $b = u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2})) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.4.11.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.11.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2})) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.4.11.4.2

Riscrivi $- 1 u$ come $- u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - u + u^{2})) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.4.12

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.12.1

Elimina il fattore comune.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (1 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.4.12.2

Riscrivi l'espressione.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{((1 + u) (1 - u + u^{2})) (1 + t^{4})}{(t^{2} (1 + u)) (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.4.13

Elimina il fattore comune di $1 + u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.13.1

Elimina il fattore comune.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 + u) (1 - u + u^{2}) (1 + t^{4})}{t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.4.13.2

Riscrivi l'espressione.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (1 + t^{4})}{(t^{2}) (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.4.14

Elimina il fattore comune di $1 - u + u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.14.1

Elimina il fattore comune.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (1 + t^{4})}{t^{2} (1 - u + u^{2})}$

Passaggio 1.4.14.2

Riscrivi l'espressione.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{1 + t^{4}}{t^{2}}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int u \cdot 1 (1 - u + u^{2}) + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int u \cdot 1 (1 - u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.7

Riordina $u$ e $1$ .

$\int 1 \cdot u \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.8

Sposta $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.9

Riordina $u$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot u (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.10

Sposta $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.11

Riordina $u$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.12

Sposta $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot 1 u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.13

Riordina $u$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.14

Sposta $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.15

Riordina $u$ e $- 1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.16

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.17

Moltiplica $u$ per $1$ .

$\int u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.18

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\int u - u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.19

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int u - (u \cdot u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.20

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u - (u^{1} u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.21

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u - (u^{1} u^{1}) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.22

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u - u^{1 + 1} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.23

Somma $1$ e $1$ .

$\int u - u^{2} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.24

Moltiplica $u$ per $1$ .

$\int u - u^{2} + u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.25

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{1} u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.26

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u - u^{2} + u^{1 + 2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.27

Somma $1$ e $2$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.28

Moltiplica $u$ per $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.29

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.30

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u^{1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.31

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1 + 1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.32

Somma $1$ e $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.33

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u \cdot u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.34

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.35

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u^{1}) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.36

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{1 + 1} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.37

Somma $1$ e $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.38

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.39

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u^{1}) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.40

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2 + 1} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.41

Somma $2$ e $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.42

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u \cdot u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.43

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u^{1} u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.44

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1 + 1} u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.45

Somma $1$ e $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2} u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.46

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2 + 2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.47

Somma $2$ e $2$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.48

Riordina $u$ e $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.49

Sposta $u$ .

$\int - u^{2} + u^{3} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.50

Riordina $- u^{2}$ e $u^{3}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.51

Riordina $u^{2}$ e $- u^{3}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{2} + u^{4} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.52

Sposta $u^{2}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{4} + u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.53

Riordina $- u^{3}$ e $u^{4}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{4} - u^{3} + u^{2} d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.54

Sposta $u$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u^{4} - u^{3} + u^{2} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.55

Sposta $- u^{2}$ .

$\int u^{3} + u^{4} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.56

Riordina $u^{3}$ e $u^{4}$ .

$\int u^{4} + u^{3} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.57

Sottrai $u^{3}$ da $u^{3}$ .

$\int u^{4} + 0 + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.58

Somma $u^{4}$ e $0$ .

$\int u^{4} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.59

Sottrai $u^{2}$ da $u^{2}$ .

$\int u^{4} + 0 + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.60

Somma $u^{4}$ e $0$ .

$\int u^{4} + u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{4} d u + \int u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \int u d u = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{2} = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int \frac{1 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sposta $t^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (1 + t^{4}) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (1 + t^{4}) t^{2 \cdot - 1} d t$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (1 + t^{4}) t^{- 2} d t$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $(1 + t^{4}) t^{- 2}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 1 t^{- 2} + t^{4} t^{- 2} d t$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $t^{- 2}$ per $1$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int t^{- 2} + t^{4} t^{- 2} d t$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $t^{4}$ per $t^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int t^{- 2} + t^{4 - 2} d t$

Passaggio 2.3.3.2.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int t^{- 2} + t^{2} d t$

Passaggio 2.3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int t^{- 2} d t + \int t^{2} d t$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{- 2}$ rispetto a $t$ è $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - t^{- 1} + C_{4} + \int t^{2} d t$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - t^{- 1} + C_{4} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{5}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - \frac{1}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Passaggio 2.3.8

Riordina i termini.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{t} + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{t} + K$